Номер 214, страница 47, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 2. Графики зависимостей величин - номер 214, страница 47.

Условие 2023.

214 Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида $y = kx^2$, если:

а) $k = 1, k = \frac{1}{2}$ и $k = 2$;

б) $k = 1$ и $k = -1$;

в) $k = 2$ и $k = -2$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 2 (2023).

а) k=1, k=1/2 и k=2

Для построения графиков зависимостей $y=kx^2$ при заданных значениях $k$ необходимо найти координаты нескольких точек для каждой функции. Графиком функции $y=kx^2$ является парабола.

Составим таблицы значений для функций $y=x^2$ (при $k=1$), $y=\frac{1}{2}x^2$ (при $k=\frac{1}{2}$) и $y=2x^2$ (при $k=2$).

1. Таблица для $y=x^2$:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	4	1	0	1	4

2. Таблица для $y=\frac{1}{2}x^2$:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	2	0.5	0	0.5	2

3. Таблица для $y=2x^2$:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	8	2	0	2	8

Построив эти три графика на одной координатной плоскости, мы увидим три параболы. Все они имеют вершину в начале координат (0,0) и симметричны относительно оси Oy. Ветви всех парабол направлены вверх. График функции $y=2x^2$ является самым "узким" (он растянут вдоль оси Oy), а график $y=\frac{1}{2}x^2$ — самым "широким" (он сжат к оси Ox).

Ответ: Построены графики функций. Все три графика являются параболами с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх. Парабола $y=2x^2$ более "узкая", а парабола $y=\frac{1}{2}x^2$ более "широкая", чем парабола $y=x^2$.

б) k=1 и k=-1

Рассмотрим функции $y=x^2$ (при $k=1$) и $y=-x^2$ (при $k=-1$). Таблица для $y=x^2$ приведена выше. Составим таблицу для $y=-x^2$.

Таблица для $y=-x^2$:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	-4	-1	0	-1	-4

На координатной плоскости мы получим две параболы с вершинами в точке (0,0). Ветви параболы $y=x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y=-x^2$ направлены вниз. Эти два графика симметричны друг другу относительно оси Ox.

Ответ: Построены две параболы с вершиной в начале координат. График $y=x^2$ имеет ветви, направленные вверх, а график $y=-x^2$ — вниз. Графики симметричны относительно оси абсцисс.

в) k=2 и k=-2

Рассмотрим функции $y=2x^2$ (при $k=2$) и $y=-2x^2$ (при $k=-2$). Таблица для $y=2x^2$ приведена выше. Составим таблицу для $y=-2x^2$.

Таблица для $y=-2x^2$:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	-8	-2	0	-2	-8

Как и в предыдущем случае, графики являются параболами, симметричными относительно оси Ox. Ветви параболы $y=2x^2$ направлены вверх, а ветви $y=-2x^2$ — вниз. Обе параболы "уже", чем параболы из пункта б), так как модуль коэффициента $k$ равен 2.

Ответ: Построены две параболы, симметричные относительно оси Ox. График $y=2x^2$ имеет ветви, направленные вверх, а график $y=-2x^2$ — вниз.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Анализируя построенные графики функции $y=kx^2$, можно сделать следующие выводы о влиянии коэффициента $k$ на вид графика.

Гипотеза:

1. График функции $y=kx^2$ является параболой с вершиной в начале координат (0,0). Осью симметрии параболы является ось ординат (ось Oy).
2. Знак коэффициента $k$ определяет направление ветвей параболы:
   • если $k > 0$, то ветви параболы направлены вверх.
   • если $k < 0$, то ветви параболы направлены вниз.
3. Абсолютное значение коэффициента $k$, то есть $|k|$, влияет на форму параболы (ее "растяжение" или "сжатие" вдоль оси Oy):
   • чем больше $|k|$, тем парабола "уже", то есть она сильнее прижата к оси Oy.
   • чем меньше $|k|$ (в частности, при $0 < |k| < 1$), тем парабола "шире", то есть она сильнее прижата к оси Ox.
4. Графики функций $y=kx^2$ и $y=-kx^2$ для одного и того же значения $k \neq 0$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Свойства графика функции $y=kx^2$ полностью определяются коэффициентом $k$. Знак $k$ отвечает за направление ветвей параболы. Модуль $|k|$ отвечает за степень растяжения или сжатия графика вдоль оси Oy. Графики для коэффициентов, противоположных по знаку ($k$ и $-k$), симметричны относительно оси Ox.

Условие 2010-2022.

214 Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей вида $y = kx^2$,

если:

a) $k = 1$, $k = \frac{1}{2}$ и $k = 2$;

б) $k = 1$ и $k = -1$;

в) $k = 2$ и $k = -2$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).