Номер 220, страница 48, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 2. Графики зависимостей величин - номер 220, страница 48.

Условие 2023.

220 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\exists a \in Q: |a| < 0;$

б) $\forall a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $\exists a, b \in Q: |a + b| = |a| + |b|;$

г) $\forall a, b \in Q: |a + b| \ge |a - b|.$

Решение 2 (2023).

а) $ \exists a \in \mathbb{Q}: |a| < 0 $

Данное высказывание ложно. По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа является неотрицательной величиной, то есть $ |a| \ge 0 $ для любого $ a \in \mathbb{Q} $. Не существует рационального числа, модуль которого был бы меньше нуля.

Построим отрицание. Отрицанием высказывания с квантором существования ($ \exists $) является высказывание с квантором всеобщности ($ \forall $), а знак неравенства меняется на противоположный:

Отрицание: $ \forall a \in \mathbb{Q}: |a| \ge 0 $.

Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \forall a \in \mathbb{Q}: |a| \ge 0 $.

б) $ \forall a \in \mathbb{Q}: |a| = |-a| $

Данное высказывание истинно. Это одно из основных свойств модуля. Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Противоположные числа $a$ и $-a$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому их модули равны.

Ответ: высказывание истинно.

в) $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| = |a| + |b| $

Данное высказывание истинно. Это равенство, известное как случай равенства в неравенстве треугольника ($ |a+b| \le |a| + |b| $), выполняется тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или хотя бы одно из них равно нулю. Например, если взять $ a = 2 $ и $ b = 5 $:

$ |a+b| = |2+5| = |7| = 7 $

$ |a| + |b| = |2| + |5| = 2 + 5 = 7 $

Так как $ 7 = 7 $, мы нашли пару чисел, для которых высказывание верно.

Ответ: высказывание истинно.

г) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| \ge |a-b| $

Данное высказывание ложно. Чтобы опровергнуть высказывание с квантором всеобщности, достаточно привести один контрпример. Возьмем числа с разными знаками, например, $ a = 3 $ и $ b = -5 $:

$ |a+b| = |3 + (-5)| = |-2| = 2 $

$ |a-b| = |3 - (-5)| = |3+5| = |8| = 8 $

Получаем неравенство $ 2 \ge 8 $, которое является ложным. Следовательно, исходное высказывание ложно.

Построим отрицание. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($ \forall $) является высказывание с квантором существования ($ \exists $), а знак неравенства меняется на противоположный:

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| < |a-b| $.

Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: |a+b| < |a-b| $.

Условие 2010-2022.

220 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

a) $\exists a \in Q: |a| < 0;$

б) $\forall a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $\exists a, b \in Q: |a+b| = |a|+|b|;$

г) $\forall a, b \in Q: |a+b| \ge |a-b|.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).