Номер 517, страница 122, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 3. Тела вращения - номер 517, страница 122.

Условие 2023.

517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела, которые получаются при вращении вокруг прямой $l$ данных фигур. Опиши их.

а) При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус.

б) При вращении треугольника вокруг стороны, на которой лежат два его вершины, образуется тело, состоящее из двух конусов, соединенных по общему основанию.

в) При вращении данной фигуры вокруг прямой $l$ образуется тело, состоящее из двух усеченных конусов (один сверху, один снизу) и цилиндра между ними.

Решение 2 (2023).

а)

При вращении данного прямоугольного треугольника вокруг прямой $l$, которая является одним из его катетов, получается конус. Высота этого конуса равна длине катета, лежащего на оси вращения, а радиус основания равен длине другого катета. По исходному рисунку на клетчатой бумаге, высота треугольника составляет 4 клетки, а основание — 2 клетки.

В соответствии с заданным масштабом 2:1, все линейные размеры необходимо увеличить в два раза. Таким образом, размеры получаемого конуса будут следующими:

• Высота конуса: $h = 4 \text{ клетки} \cdot 2 = 8$ клеток.
• Радиус основания конуса: $R = 2 \text{ клетки} \cdot 2 = 4$ клетки.

Для построения необходимо нарисовать осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с высотой 8 клеток и основанием $2 \cdot R = 8$ клеток, а затем дорисовать эллипс в основании.

Ответ: В результате вращения получается конус с высотой 8 клеток и радиусом основания 4 клетки.

б)

Фигура, данная в этом пункте, представляет собой треугольник. Для определения тела вращения удобно мысленно разделить этот треугольник горизонтальной линией, проведенной из средней вершины перпендикулярно оси вращения $l$. В результате такого деления исходный треугольник разбивается на две фигуры: верхний треугольник и нижнюю трапецию.

При вращении этих фигур вокруг оси $l$ получаются следующие тела:

• Вращение верхнего треугольника (исходная высота 2 клетки, основание 2 клетки) образует конус.
• Вращение нижней трапеции (исходная высота 2 клетки, основания 2 и 3 клетки) образует усеченный конус.

Итоговое тело вращения является составным и представляет собой конус, установленный на усеченный конус, причем основание конуса совпадает с верхним, меньшим основанием усеченного конуса.

В масштабе 2:1 размеры этих тел будут:

• Для верхнего конуса: высота $h_к = 2 \cdot 2 = 4$ клетки, радиус основания $R_к = 2 \cdot 2 = 4$ клетки.
• Для нижнего усеченного конуса: высота $h_{ук} = 2 \cdot 2 = 4$ клетки, радиус верхнего основания $r_{ук} = 2 \cdot 2 = 4$ клетки, радиус нижнего основания $R_{ук} = 2 \cdot 3 = 6$ клеток.

Общая высота составного тела будет $H = h_к + h_{ук} = 4 + 4 = 8$ клеток.

Ответ: В результате вращения получается составное тело, состоящее из конуса и усеченного конуса, соединенных по общему основанию. Размеры в масштабе 2:1: высота конуса 4 клетки, радиус его основания 4 клетки; высота усеченного конуса 4 клетки, радиусы его оснований 4 клетки и 6 клеток. Общая высота тела — 8 клеток.

в)

Исходная фигура — пятиугольник, симметричный относительно горизонтальной оси. Одна из его сторон лежит на оси вращения $l$. Эту фигуру можно представить как две одинаковые прямоугольные трапеции, соединенные по своему большему основанию.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг стороны, прилежащей к прямым углам (в данном случае эта сторона лежит на оси $l$), образуется усеченный конус. Так как исходная фигура состоит из двух таких трапеций, то и тело вращения будет состоять из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных своими большими основаниями.

Рассмотрим одну из трапеций (например, верхнюю). Ее исходные размеры: высота (на оси $l$) — 2 клетки, меньшее основание — 1 клетка, большее основание — 2 клетки. Эти размеры соответствуют высоте и радиусам оснований усеченного конуса.

В масштабе 2:1 размеры каждого из двух усеченных конусов будут:

• Высота: $h_{ук} = 2 \text{ клетки} \cdot 2 = 4$ клетки.
• Радиус меньшего основания: $r_{ук} = 1 \text{ клетка} \cdot 2 = 2$ клетки.
• Радиус большего (общего) основания: $R_{ук} = 2 \text{ клетки} \cdot 2 = 4$ клетки.

Общая высота всего тела вращения будет равна сумме высот двух усеченных конусов: $H = 4 + 4 = 8$ клеток.

Ответ: В результате вращения получается тело, состоящее из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных большими основаниями. Размеры каждого усеченного конуса в масштабе 2:1: высота 4 клетки, радиус меньшего основания 2 клетки, радиус большего основания 4 клетки. Общая высота тела — 8 клеток.

Условие 2010-2022.

517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела, которые получаются при вращении вокруг прямой $l$ данных фигур. Опиши их.

а) б) в)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).