Номер 518, страница 122, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 3. Тела вращения - номер 518, страница 122.

Условие 2023.

518 Пусть радиус основания конуса равен r, а его боковую поверхность можно «развернуть» в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле

$$\alpha = \frac{360^\circ \cdot r}{R}$$

Вычисли угол α и построй развёртку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и, свернув её в конус, убедись в том, что длина дуги сектора равна длине окружности основания.

Решение 2 (2023).

Вычисли угол α

Для вычисления величины угла α воспользуемся формулой, приведённой в условии задачи:
$α = \frac{360^\circ \cdot r}{R}$
Подставим заданные значения радиуса основания конуса $r = 2$ см и радиуса сектора $R = 5$ см в эту формулу:
$α = \frac{360^\circ \cdot 2}{5} = \frac{720^\circ}{5} = 144^\circ$
Ответ: $α = 144^\circ$.

Построй развёртку конуса

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Для её построения на бумаге необходимо выполнить следующие действия:
1. С помощью циркуля начертить дугу окружности с радиусом $R = 5$ см.
2. Из центра этой дуги провести один радиус (прямую линию от центра до любой точки на дуге).
3. Используя транспортир, отложить от построенного радиуса угол $\alpha = 144^\circ$ и провести второй радиус.
Полученная фигура (сектор круга с радиусом 5 см и центральным углом 144°) и является развёрткой боковой поверхности заданного конуса.

Убедись в том, что длина дуги сектора равна длине окружности основания

Для проверки этого утверждения необходимо рассчитать длину дуги сектора и длину окружности основания, а затем сравнить полученные результаты.

1. Вычислим длину окружности основания конуса ($L_{основания}$).
Формула для длины окружности: $L = 2\pi r$.
При радиусе $r = 2$ см, получаем:
$L_{основания} = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4\pi$ см.

2. Вычислим длину дуги сектора ($L_{дуги}$), который является развёрткой боковой поверхности конуса.
Формула для длины дуги сектора: $L_{дуги} = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ}$.
При радиусе сектора $R = 5$ см и угле $\alpha = 144^\circ$, получаем:
$L_{дуги} = \frac{2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 144^\circ}{360^\circ} = \frac{10\pi \cdot 144}{360} = 10\pi \cdot \frac{144}{360}$
Сократим дробь $\frac{144}{360}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 72:
$\frac{144}{360} = \frac{144 \div 72}{360 \div 72} = \frac{2}{5}$
Тогда длина дуги равна:
$L_{дуги} = 10\pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi$ см.

Сравнивая результаты, видим, что $L_{основания} = 4\pi$ см и $L_{дуги} = 4\pi$ см. Таким образом, их длины равны.
Ответ: Длина дуги сектора ($4\pi$ см) равна длине окружности основания ($4\pi$ см), что и требовалось проверить.

Условие 2010-2022.

518 Пусть радиус основания конуса равен $r$, а его боковую поверхность можно «развернуть» в сектор круга радиуса $R$. Величина угла $\alpha$ этого сектора в градусах вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{360^{\circ} \cdot r}{R}$

Вычисли угол $\alpha$ и построй развертку конуса для значений $r = 2$ см и $R = 5$ см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и, свернув ее в конус, убедись в том, что длина дуги сектора равна длине окружности основания.

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).