Номер 1, страница 34 - гдз по математике 6 класс контрольные работы Крайнева

1. На координатной плоскости постройте отрезок $MN$ и прямую $AK$, если $M(-4; 6)$, $N(-1; 0)$, $A(-8; -1)$, $K(6; 6)$. Запишите координаты точек пересечения прямой $AK$ с построенным отрезком и осями координат.

Первым шагом является построение отрезка MN и прямой AK на координатной плоскости по заданным точкам. Далее, для нахождения координат точек пересечения аналитическим методом, необходимо составить уравнения прямых, на которых лежат указанные отрезок и прямая.

Координаты точки пересечения прямой AK с построенным отрезком MN

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
1. Составим уравнение прямой AK, проходящей через точки A(-8; -1) и K(6; 6):
$\frac{x - (-8)}{6 - (-8)} = \frac{y - (-1)}{6 - (-1)} \implies \frac{x + 8}{14} = \frac{y + 1}{7}$
$x + 8 = 2(y + 1) \implies x + 8 = 2y + 2 \implies 2y = x + 6 \implies y = \frac{1}{2}x + 3$.
2. Составим уравнение прямой, содержащей отрезок MN, проходящей через точки M(-4; 6) и N(-1; 0):
$\frac{x - (-4)}{-1 - (-4)} = \frac{y - 6}{0 - 6} \implies \frac{x + 4}{3} = \frac{y - 6}{-6}$
$-2(x + 4) = y - 6 \implies -2x - 8 = y - 6 \implies y = -2x - 2$.
3. Для нахождения точки пересечения решим систему из двух полученных уравнений:
$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 3 \\ y = -2x - 2 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений: $\frac{1}{2}x + 3 = -2x - 2$.
$\frac{1}{2}x + 2x = -2 - 3 \implies \frac{5}{2}x = -5 \implies x = -2$.
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в любое из уравнений: $y = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2$.
Таким образом, прямые пересекаются в точке с координатами (-2; 2).
4. Проверим, принадлежит ли найденная точка отрезку MN. Координаты x отрезка MN лежат в диапазоне от -4 до -1. Координаты y — в диапазоне от 0 до 6. Так как $-4 \le -2 \le -1$ и $0 \le 2 \le 6$, точка (-2; 2) принадлежит отрезку MN.
Ответ: (-2; 2).

Координаты точек пересечения прямой AK с осями координат

Используем ранее найденное уравнение прямой AK: $y = \frac{1}{2}x + 3$.
1. Пересечение с осью ординат (осью OY):
При пересечении с осью OY абсцисса точки равна нулю, то есть $x = 0$.
$y = \frac{1}{2}(0) + 3 = 3$.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; 3).
2. Пересечение с осью абсцисс (осью OX):
При пересечении с осью OX ордината точки равна нулю, то есть $y = 0$.
$0 = \frac{1}{2}x + 3 \implies \frac{1}{2}x = -3 \implies x = -6$.
Координаты точки пересечения с осью OX: (-6; 0).
Ответ: с осью OY (0; 3), с осью OX (-6; 0).