Номер 3, страница 34 - гдз по математике 6 класс контрольные работы Крайнева

3. Постройте $\angle AOB$, равный $105^\circ$. Отметьте внутри этого угла точку $D$ и проведите через неё прямые, параллельные сторонам угла.

Для решения данной задачи выполним последовательно три действия: построим заданный угол, отметим внутри него точку и проведем через эту точку параллельные прямые.

1. Построение угла $\angle AOB$, равного $105^\circ$

Для построения угла воспользуемся линейкой и транспортиром:

1. С помощью линейки начертим произвольный луч, обозначив его начало точкой $O$, а на самом луче отметим точку $A$. Получим луч $OA$.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $O$ (вершиной будущего угла), а отметка $0^\circ$ на шкале транспортира лежала на луче $OA$.
3. Найдем на шкале транспортира деление, соответствующее $105^\circ$, и поставим рядом с ним точку. Обозначим эту точку буквой $B$.
4. Уберем транспортир и с помощью линейки проведем луч из точки $O$ через точку $B$.

В результате этих действий мы построили угол $\angle AOB$, градусная мера которого равна $105^\circ$.

2. Выбор точки $D$

Отметим любую точку $D$ в области, находящейся между лучами $OA$ и $OB$.

3. Построение прямых, параллельных сторонам угла, через точку $D$

Для построения прямых, параллельных сторонам $OA$ и $OB$, будем использовать циркуль и линейку. Метод заключается в построении равных накрест лежащих углов при секущей.

Построение прямой, параллельной стороне $OA$

1. Проведем прямую через точки $O$ и $D$. Эта прямая будет служить секущей.
2. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса $r_1$, которая пересечет луч $OA$ в точке $P_1$, а прямую $OD$ — в точке $Q_1$.
3. С центром в точке $D$ проведем дугу того же радиуса $r_1$. Эта дуга пересечет прямую $OD$ в точке $Q_2$ (с той стороны от точки $D$, где не лежит точка $O$).
4. Циркулем измерим расстояние между точками $P_1$ и $Q_1$.
5. Установим ножку циркуля в точку $Q_2$ и на дуге, проведенной из точки $D$, отложим отрезок, равный расстоянию $P_1Q_1$. Точку пересечения обозначим $P_2$.
6. Проведем прямую через точки $D$ и $P_2$. Обозначим эту прямую $d_1$.

Прямая $d_1$ параллельна стороне $OA$, так как по построению накрест лежащие углы $\angle P_2DQ_2$ и $\angle P_1OQ_1$ (часть угла $\angle AOB$) при секущей $OD$ равны.

Построение прямой, параллельной стороне $OB$

Выполним аналогичные действия для построения прямой, параллельной стороне $OB$.

1. Будем использовать ту же секущую $OD$.
2. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса $r_2$, которая пересечет луч $OB$ в точке $S_1$, а прямую $OD$ — в точке $T_1$.
3. С центром в точке $D$ проведем дугу того же радиуса $r_2$. Эта дуга пересечет прямую $OD$ в точке $T_2$ (с той стороны от точки $D$, где лежит точка $O$).
4. Циркулем измерим расстояние между точками $S_1$ и $T_1$.
5. Установим ножку циркуля в точку $T_2$ и на дуге, проведенной из точки $D$, отложим отрезок, равный расстоянию $S_1T_1$. Точку пересечения обозначим $S_2$.
6. Проведем прямую через точки $D$ и $S_2$. Обозначим эту прямую $d_2$.

Прямая $d_2$ параллельна стороне $OB$, так как по построению накрест лежащие углы $\angle S_2DT_2$ и $\angle S_1OT_1$ (часть угла $\angle AOB$) при секущей $OD$ равны.

В результате выполнены все требуемые построения. Через точку $D$ проведены две прямые: $d_1 \parallel OA$ и $d_2 \parallel OB$.

Ответ: Построение, описанное выше, является решением задачи. Построен угол $\angle AOB = 105^\circ$, внутри него отмечена точка $D$, и через точку $D$ проведены две прямые, параллельные сторонам угла $OA$ и $OB$.