Номер 1, страница 36 - гдз по математике 6 класс контрольные работы Крайнева

1. На координатной плоскости постройте отрезок $AB$ и прямую $PK$, если $A(0; 6)$, $B(5; 1)$, $P(-8; -1)$, $K(4; 5)$. Запишите координаты точек пересечения прямой $PK$ с построенным отрезком и осями координат.

Для решения задачи сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат отрезок AB и прямая PK, а затем найдем их точки пересечения между собой и с осями координат.

Построение отрезка AB и прямой PK на координатной плоскости

Для построения отрезка AB отметим на координатной плоскости точки A(0; 6) и B(5; 1) и соединим их. Для построения прямой PK отметим точки P(-8; -1) и K(4; 5) и проведем через них прямую. (Само построение является графическим действием, здесь приведено аналитическое решение).

Координаты точки пересечения прямой PK с отрезком AB

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(0; 6) и B(5; 1). Воспользуемся общей формулой уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек A и B:

$\frac{y - 6}{1 - 6} = \frac{x - 0}{5 - 0}$

$\frac{y - 6}{-5} = \frac{x}{5}$

$y - 6 = -x$

Уравнение прямой AB: $y = -x + 6$.

2. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки P(-8; -1) и K(4; 5):

$\frac{y - (-1)}{5 - (-1)} = \frac{x - (-8)}{4 - (-8)}$

$\frac{y + 1}{6} = \frac{x + 8}{12}$

Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(y + 1) = x + 8$

$2y + 2 = x + 8$

$2y = x + 6$

Уравнение прямой PK: $y = \frac{1}{2}x + 3$.

3. Найдем точку пересечения прямых AB и PK, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x + 6 \\ y = \frac{1}{2}x + 3 \end{cases}$

Приравняем правые части:

$-x + 6 = \frac{1}{2}x + 3$

$6 - 3 = x + \frac{1}{2}x$

$3 = \frac{3}{2}x$

$x = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Теперь найдем $y$, подставив $x = 2$ в любое из уравнений (например, в первое):

$y = -2 + 6 = 4$

Координаты точки пересечения прямых — (2; 4).

4. Проверим, принадлежит ли эта точка отрезку AB. Координаты точки должны находиться в пределах координат концов отрезка. Для отрезка AB с концами A(0; 6) и B(5; 1) абсцисса $x$ должна удовлетворять условию $0 \le x \le 5$, а ордината $y$ — условию $1 \le y \le 6$. Для точки (2; 4): $0 \le 2 \le 5$ (верно) и $1 \le 4 \le 6$ (верно). Следовательно, точка (2; 4) является точкой пересечения прямой PK и отрезка AB.

Ответ: (2; 4).

Координаты точек пересечения прямой PK с осями координат

Уравнение прямой PK: $y = \frac{1}{2}x + 3$.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). В этой точке абсцисса $x = 0$.

Подставим $x=0$ в уравнение прямой PK:

$y = \frac{1}{2}(0) + 3 = 3$

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0; 3).

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox). В этой точке ордината $y = 0$.

Подставим $y=0$ в уравнение прямой PK:

$0 = \frac{1}{2}x + 3$

$-\frac{1}{2}x = 3$

$x = -6$

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты (-6; 0).

Ответ: с осью Oy: (0; 3), с осью Ox: (-6; 0).