Номер 1, страница 37 - гдз по математике 6 класс контрольные работы Крайнева

1. На координатной плоскости постройте отрезок $DE$ и прямую $MN$, если $D(0; -5)$, $E(4; -1)$, $M(-6; 1)$, $N(6; -5)$. Запишите координаты точек пересечения прямой $MN$ с построенным отрезком и осями координат.

Для решения задачи сначала необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат отрезок DE и прямая MN.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой:
$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Уравнение прямой, содержащей отрезок DE
Подставим координаты точек D(0; -5) и E(4; -1):
$\frac{y - (-5)}{-1 - (-5)} = \frac{x - 0}{4 - 0}$
$\frac{y + 5}{4} = \frac{x}{4}$
$y + 5 = x$
$y = x - 5$
Так как это отрезок, то значения $x$ ограничены: $0 \le x \le 4$.

Уравнение прямой MN
Подставим координаты точек M(-6; 1) и N(6; -5):
$\frac{y - 1}{-5 - 1} = \frac{x - (-6)}{6 - (-6)}$
$\frac{y - 1}{-6} = \frac{x + 6}{12}$
Умножим обе части уравнения на 12:
$-2(y - 1) = x + 6$
$-2y + 2 = x + 6$
$-2y = x + 4$
$y = -0.5x - 2$

Теперь найдем искомые точки пересечения.

Координаты точки пересечения прямой MN с построенным отрезком DE

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:
$\begin{cases} y = x - 5 \\ y = -0.5x - 2 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений:
$x - 5 = -0.5x - 2$
$x + 0.5x = 5 - 2$
$1.5x = 3$
$x = 2$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 2 - 5 = -3$
Точка пересечения имеет координаты (2; -3).
Необходимо убедиться, что эта точка лежит на отрезке DE. Для этого координата $x$ должна находиться в промежутке $[0, 4]$. Так как $x=2$, это условие выполняется.
Ответ: (2; -3).

Координаты точек пересечения прямой MN с осями координат

Пересечение с осью ординат (осью OY):
Пересечение с осью OY происходит в точке, где $x = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой MN:
$y = -0.5 \cdot 0 - 2 = -2$
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; -2).

Пересечение с осью абсцисс (осью OX):
Пересечение с осью OX происходит в точке, где $y = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой MN:
$0 = -0.5x - 2$
$0.5x = -2$
$x = -4$
Координаты точки пересечения с осью OX: (-4; 0).

Ответ: с осью OY в точке (0; -2), с осью OX в точке (-4; 0).