Номер 2, страница 15 - гдз по математике 6 класс контрольные работы Крайнева

2. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{11}{30} - \frac{4}{15} + \frac{1}{20} $;

б) $ 9 - 5\frac{7}{11} $;

в) $ 5\frac{4}{9} + 2\frac{5}{12} $;

г) $ 7\frac{15}{16} + 2\frac{11}{24} $;

д) $ 8\frac{1}{8} - 4\frac{7}{10} $.

а) $ \frac{11}{30} - \frac{4}{15} + \frac{1}{20} $
Для выполнения сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 30, 15 и 20.
Разложим знаменатели на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
НОК(30, 15, 20) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.
Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 60, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
$ \frac{11}{30} = \frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{22}{60} $
$ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{16}{60} $
$ \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60} $
Выполним действия с дробями с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{22}{60} - \frac{16}{60} + \frac{3}{60} = \frac{22 - 16 + 3}{60} = \frac{6 + 3}{60} = \frac{9}{60} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$ \frac{9}{60} = \frac{9 \div 3}{60 \div 3} = \frac{3}{20} $
Ответ: $ \frac{3}{20} $

б) $ 9 - 5\frac{7}{11} $
Для того чтобы вычесть смешанное число из целого числа, представим целое число 9 в виде смешанного числа. Займем у 9 единицу и представим ее в виде дроби со знаменателем 11:
$ 9 = 8 + 1 = 8 + \frac{11}{11} = 8\frac{11}{11} $
Теперь выполним вычитание:
$ 8\frac{11}{11} - 5\frac{7}{11} $
Вычитаем целые части и дробные части по отдельности:
Целая часть: $ 8 - 5 = 3 $
Дробная часть: $ \frac{11}{11} - \frac{7}{11} = \frac{11-7}{11} = \frac{4}{11} $
Объединяем результат:
$ 3 + \frac{4}{11} = 3\frac{4}{11} $
Ответ: $ 3\frac{4}{11} $

в) $ 5\frac{4}{9} + 2\frac{5}{12} $
Для сложения смешанных чисел сложим их целые и дробные части по отдельности.
Сложим целые части: $ 5 + 2 = 7 $
Сложим дробные части: $ \frac{4}{9} + \frac{5}{12} $. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. НОК(9, 12) = 36.
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $
$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36} $
$ \frac{16}{36} + \frac{15}{36} = \frac{16+15}{36} = \frac{31}{36} $
Теперь сложим полученную целую часть и дробную часть:
$ 7 + \frac{31}{36} = 7\frac{31}{36} $
Ответ: $ 7\frac{31}{36} $

г) $ 7\frac{15}{16} + 2\frac{11}{24} $
Складываем смешанные числа, отдельно целые и дробные части.
Сложение целых частей: $ 7 + 2 = 9 $
Сложение дробных частей: $ \frac{15}{16} + \frac{11}{24} $. Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(16, 24) = 48.
$ \frac{15}{16} = \frac{15 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{45}{48} $
$ \frac{11}{24} = \frac{11 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{22}{48} $
$ \frac{45}{48} + \frac{22}{48} = \frac{45+22}{48} = \frac{67}{48} $
Полученная дробь $ \frac{67}{48} $ является неправильной. Выделим из нее целую часть:
$ \frac{67}{48} = 1\frac{19}{48} $
Теперь прибавим этот результат к сумме целых частей:
$ 9 + 1\frac{19}{48} = 10\frac{19}{48} $
Ответ: $ 10\frac{19}{48} $

д) $ 8\frac{1}{8} - 4\frac{7}{10} $
Для вычитания смешанных чисел сначала сравним их дробные части. Приведем их к общему знаменателю. НОК(8, 10) = 40.
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{5}{40} $
$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{28}{40} $
Так как $ \frac{5}{40} < \frac{28}{40} $, то для вычитания дробных частей нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого (числа $8\frac{1}{8}$).
$ 8\frac{1}{8} = 7 + 1 + \frac{1}{8} = 7 + \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = 7\frac{9}{8} $
Теперь выражение выглядит так: $ 7\frac{9}{8} - 4\frac{7}{10} $
Вычитаем целые части: $ 7 - 4 = 3 $
Вычитаем дробные части, используя общий знаменатель 40:
$ \frac{9}{8} - \frac{7}{10} = \frac{9 \cdot 5}{40} - \frac{7 \cdot 4}{40} = \frac{45}{40} - \frac{28}{40} = \frac{45 - 28}{40} = \frac{17}{40} $
Складываем полученную целую часть и дробную часть:
$ 3 + \frac{17}{40} = 3\frac{17}{40} $
Ответ: $ 3\frac{17}{40} $