Номер 1, страница 13 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

4. Виды треугольников. § 1. Вычисления и построения - номер 1, страница 13.

1. Назовите каждый изображённый треугольник:

a) в зависимости от наличия или отсутствия равных сторон;

б) по видам его углов.

a) равнобедренный

б) тупоугольный

a) б) a) б) a) б) a) б) a) б) a) б) a) б) a) б)

а) Все три стороны данного треугольника отмечены одинаковыми штрихами, что указывает на их равенство. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Ответ: равносторонний

б) В равностороннем треугольнике все углы равны и составляют $60^\circ$. Так как все углы меньше $90^\circ$, этот треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный

а) Чтобы определить тип треугольника по сторонам, найдём квадраты их длин, используя клетки сетки как единицу измерения. Пусть вершины имеют координаты A(0, 3), B(4, 0) и C(9, 2).
Квадрат длины стороны AB: $AB^2 = (4-0)^2 + (0-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
Квадрат длины стороны BC: $BC^2 = (9-4)^2 + (2-0)^2 = 5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$.
Квадрат длины стороны AC: $AC^2 = (9-0)^2 + (2-3)^2 = 9^2 + (-1)^2 = 81 + 1 = 82$.
Поскольку длины всех сторон различны ($\sqrt{25}$, $\sqrt{29}$, $\sqrt{82}$), треугольник является разносторонним.

Ответ: разносторонний

б) Для определения типа углов сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон.
Наибольшая сторона AC, её квадрат $AC^2 = 82$.
Сумма квадратов двух других сторон: $AB^2 + BC^2 = 25 + 29 = 54$.
Так как $82 > 54$ ($AC^2 > AB^2 + BC^2$), угол напротив самой длинной стороны (угол B) — тупой. Следовательно, треугольник тупоугольный.

Ответ: тупоугольный

а) Две боковые стороны этого треугольника отмечены одинаковыми штрихами (двойными), что означает, что они равны. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Ответ: равнобедренный

б) Для определения вида треугольника по углам, сравним квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других. Пусть вершины A(0,0), B(4,0) и C(2,4). Квадраты длин сторон: $AC^2 = (2-0)^2 + (4-0)^2 = 20$, $BC^2 = (4-2)^2 + (0-4)^2 = 20$, $AB^2 = (4-0)^2 = 16$.
Самая длинная сторона имеет квадрат длины 20. Сравним это значение с суммой квадратов двух других сторон: $16 + 20 = 36$. Так как $20 < 36$, угол, противолежащий стороне длиной $\sqrt{20}$, является острым. Поскольку в треугольнике два наибольших угла являются острыми, третий угол (напротив самой короткой стороны) тем более будет острым. Следовательно, треугольник остроугольный.

Ответ: остроугольный

а) Найдём квадраты длин сторон. Пусть вершины A(0, 3), B(3, 0), C(7, 4).
Квадрат стороны AB: $AB^2 = (3-0)^2 + (0-3)^2 = 9 + 9 = 18$.
Квадрат стороны BC: $BC^2 = (7-3)^2 + (4-0)^2 = 16 + 16 = 32$.
Квадрат стороны AC: $AC^2 = (7-0)^2 + (4-3)^2 = 49 + 1 = 50$.
Все стороны имеют разную длину ($\sqrt{18}$, $\sqrt{32}$, $\sqrt{50}$), значит, треугольник разносторонний.

Ответ: разносторонний

б) Один из углов треугольника отмечен квадратом, что обозначает прямой угол ($90^\circ$). Это подтверждается и расчётами по теореме, обратной теореме Пифагора: $AB^2 + BC^2 = 18 + 32 = 50 = AC^2$. Треугольник, имеющий прямой угол, называется прямоугольным.

Ответ: прямоугольный

а) Найдём длины сторон этого треугольника. Катеты, идущие вдоль линий сетки, равны 3 и 4 клеткам. Гипотенузу найдём по теореме Пифагора: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Стороны равны 3, 4 и 5. Все они имеют разную длину, поэтому треугольник разносторонний.

Ответ: разносторонний

б) Один из углов отмечен квадратом, что означает, что он прямой. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный

а) Найдём квадраты длин сторон. Пусть вершины A(0, 2), B(3, 0), C(5, 4).
Квадрат стороны AB: $AB^2 = (3-0)^2 + (0-2)^2 = 9 + 4 = 13$.
Квадрат стороны BC: $BC^2 = (5-3)^2 + (4-0)^2 = 4 + 16 = 20$.
Квадрат стороны AC: $AC^2 = (5-0)^2 + (4-2)^2 = 25 + 4 = 29$.
Все стороны имеют разную длину ($\sqrt{13}$, $\sqrt{20}$, $\sqrt{29}$). Следовательно, треугольник разносторонний.

Ответ: разносторонний

б) Сравним квадрат самой длинной стороны (AC) с суммой квадратов двух других сторон.
$AC^2 = 29$.
$AB^2 + BC^2 = 13 + 20 = 33$.
Так как $29 < 33$ ($AC^2 < AB^2 + BC^2$), угол, лежащий напротив самой длинной стороны, острый. Значит, все углы в треугольнике острые. Треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный