Номер 2, страница 20 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

Параграф 2. Действия со смешанными числами. 7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа - номер 2, страница 20.

Условие.

2. По разложениям на простые множители чисел a и b найдите их наибольший общий делитель:

а) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5, b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$

$\text{НОД}(a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 3 =$

б) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5, b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

$\text{НОД}(a, b) =$

в) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5, b = 2 \cdot 5 \cdot 11$

г) $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7, b = 3 \cdot 7 \cdot 13$

д) $a = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19, b = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$

е) $a = 5 \cdot 7 \cdot 11, b = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11$

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел по их разложениям на простые множители, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выписать все общие простые множители для данных чисел.
2. Для каждого общего множителя выбрать наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях.
3. Перемножить эти множители в выбранных степенях.

а)

Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2 и 3. Множитель 2 входит в разложение числа a дважды, а в разложение числа b — один раз. Следовательно, в НОД он войдет один раз. Множитель 3 входит в разложение обоих чисел по два раза, поэтому в НОД он войдет дважды. Множители 5 и 7 не являются общими.

НОД(a, b) = $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$.

Ответ: 18.

б)

Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2, 3 и 5. Множитель 2 в разложении a встречается дважды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 3 в разложении a встречается дважды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 5 встречается в обоих разложениях по одному разу (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30.

в)

Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 5 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2 и 5. Множитель 2 в разложении a встречается трижды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 5 встречается в обоих разложениях по одному разу (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10.

г)

Даны разложения чисел: $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ и $b = 3 \cdot 7 \cdot 13$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 3 и 7. Множитель 3 в разложении a встречается дважды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 7 встречается в обоих разложениях по одному разу (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $3 \cdot 7 = 21$.

Ответ: 21.

д)

Даны разложения чисел: $a = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$.

Сравнивая разложения на простые множители чисел a и b, мы видим, что у них нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(a, b) = 1.

Ответ: 1.

е)

Даны разложения чисел: $a = 5 \cdot 7 \cdot 11$ и $b = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 5, 7 и 11. Множители 5 и 7 встречаются в обоих разложениях по одному разу. Множитель 11 встречается в разложении a один раз, а в b — дважды (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$.

Ответ: 385.