Страница 20 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Выпишите все общие делители двух данных чисел и подчеркните наибольший общий делитель.

a) $12$ и $18$: $2$, $3$, __________

б) $28$ и $42$: $2$, $4$, __________

а) 12 и 18

Чтобы найти все общие делители чисел 12 и 18, сначала необходимо выписать все делители для каждого из этих чисел. Делитель — это число, на которое данное число делится без остатка.

1. Найдём все делители числа 12.
$12 \div 1 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$12 \div 3 = 4$
$12 \div 4 = 3$
$12 \div 6 = 2$
$12 \div 12 = 1$
Делители числа 12: $Д(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

2. Найдём все делители числа 18.
$18 \div 1 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$18 \div 3 = 6$
$18 \div 6 = 3$
$18 \div 9 = 2$
$18 \div 18 = 1$
Делители числа 18: $Д(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

3. Теперь выберем те делители, которые являются общими для обоих чисел, то есть присутствуют в обоих списках.
Общие делители: 1, 2, 3, 6.

4. Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое число из списка общих делителей. В данном случае это 6.
Согласно заданию, выписываем все общие делители и подчёркиваем наибольший из них.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

б) 28 и 42

Аналогично предыдущему пункту, найдём все общие делители для чисел 28 и 42.

1. Найдём все делители числа 28.
$28 \div 1 = 28$
$28 \div 2 = 14$
$28 \div 4 = 7$
$28 \div 7 = 4$
$28 \div 14 = 2$
$28 \div 28 = 1$
Делители числа 28: $Д(28) = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$.

2. Найдём все делители числа 42.
$42 \div 1 = 42$
$42 \div 2 = 21$
$42 \div 3 = 14$
$42 \div 6 = 7$
$42 \div 7 = 6$
$42 \div 14 = 3$
$42 \div 21 = 2$
$42 \div 42 = 1$
Делители числа 42: $Д(42) = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$.

3. Выберем общие делители для чисел 28 и 42.
Общие делители: 1, 2, 7, 14.

4. Наибольший общий делитель (НОД) для 28 и 42 — это 14.
Выпишем все общие делители и подчеркнём наибольший.

Ответ: 1, 2, 7, 14.

2. По разложениям на простые множители чисел a и b найдите их наибольший общий делитель:

а) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5, b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$

$\text{НОД}(a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 3 =$

б) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5, b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

$\text{НОД}(a, b) =$

в) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5, b = 2 \cdot 5 \cdot 11$

г) $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7, b = 3 \cdot 7 \cdot 13$

д) $a = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19, b = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$

е) $a = 5 \cdot 7 \cdot 11, b = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11$

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел по их разложениям на простые множители, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выписать все общие простые множители для данных чисел.
2. Для каждого общего множителя выбрать наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях.
3. Перемножить эти множители в выбранных степенях.

а)

Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2 и 3. Множитель 2 входит в разложение числа a дважды, а в разложение числа b — один раз. Следовательно, в НОД он войдет один раз. Множитель 3 входит в разложение обоих чисел по два раза, поэтому в НОД он войдет дважды. Множители 5 и 7 не являются общими.

НОД(a, b) = $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$.

Ответ: 18.

б)

Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2, 3 и 5. Множитель 2 в разложении a встречается дважды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 3 в разложении a встречается дважды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 5 встречается в обоих разложениях по одному разу (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30.

в)

Даны разложения чисел: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 5 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 2 и 5. Множитель 2 в разложении a встречается трижды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 5 встречается в обоих разложениях по одному разу (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10.

г)

Даны разложения чисел: $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ и $b = 3 \cdot 7 \cdot 13$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 3 и 7. Множитель 3 в разложении a встречается дважды, а в b — один раз (выбираем один раз). Множитель 7 встречается в обоих разложениях по одному разу (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $3 \cdot 7 = 21$.

Ответ: 21.

д)

Даны разложения чисел: $a = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 19$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$.

Сравнивая разложения на простые множители чисел a и b, мы видим, что у них нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.

НОД(a, b) = 1.

Ответ: 1.

е)

Даны разложения чисел: $a = 5 \cdot 7 \cdot 11$ и $b = 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11$.

Общими простыми множителями для чисел a и b являются 5, 7 и 11. Множители 5 и 7 встречаются в обоих разложениях по одному разу. Множитель 11 встречается в разложении a один раз, а в b — дважды (выбираем один раз).

НОД(a, b) = $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$.

Ответ: 385.