Страница 19 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Заполните пропуски: «Простые числа — это натуральные числа, большие 1, которые делятся только на ____ и на ____ ; натуральные числа, имеющие более двух делителей, называются ____ ».

Для выполнения этого задания нужно вспомнить определения ключевых понятий из теории чисел: простого и составного числа.

Простое число — это натуральное число (число, используемое при счете: $1, 2, 3, ...$), которое больше единицы и делится без остатка только на два числа: на $1$ и на само себя. Например, числа $2, 3, 5, 7, 11$ являются простыми. Исходя из этого определения, первые два пропуска в предложении необходимо заполнить: «...делятся только на $1$ и на само себя».

Составное число — это натуральное число больше единицы, которое не является простым. Другими словами, у составного числа есть и другие делители, кроме $1$ и самого себя, то есть оно имеет более двух делителей. Например, число $4$ делится на $1, 2, 4$ (три делителя), а число $6$ делится на $1, 2, 3, 6$ (четыре делителя). Такие числа называются составными. Поэтому последний пропуск в предложении следует заполнить словом «составными» (в требуемой грамматической форме).

Таким образом, полное и верное утверждение выглядит так:

«Простые числа — это натуральные числа, большие $1$, которые делятся только на $1$ и на само себя; натуральные числа, имеющие более двух делителей, называются составными».

Ответ: Простые числа — это натуральные числа, большие $1$, которые делятся только на $1$ и на само себя; натуральные числа, имеющие более двух делителей, называются составными.

2. Выпишите из ряда натуральных чисел первые десять простых чисел:

Простое число — это натуральное число, которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Чтобы найти первые десять простых чисел, необходимо последовательно проверять натуральные числа, начиная с $2$.

Будем перебирать натуральные числа по порядку:

• $1$ — не является простым числом, так как по определению простое число должно быть больше $1$.
• $2$ — простое число, так как его делители только $1$ и $2$. Это первое простое число.
• $3$ — простое число, так как его делители только $1$ и $3$. Это второе простое число.
• $4$ — не является простым (составное), так как делится на $2$ ($4 = 2 \cdot 2$).
• $5$ — простое число, так как его делители только $1$ и $5$. Это третье простое число.
• $6$ — составное, так как делится на $2$ и на $3$.
• $7$ — простое число, так как его делители только $1$ и $7$. Это четвертое простое число.
• $8$ — составное, так как делится на $2$.
• $9$ — составное, так как делится на $3$.
• $10$ — составное, так как делится на $2$ и на $5$.
• $11$ — простое число, так как его делители только $1$ и $11$. Это пятое простое число.
• $12$ — составное, так как делится на $2, 3, 4, 6$.
• $13$ — простое число, так как его делители только $1$ и $13$. Это шестое простое число.
• $14$ — составное, так как делится на $2$ и $7$.
• $15$ — составное, так как делится на $3$ и $5$.
• $16$ — составное, так как делится на $2, 4, 8$.
• $17$ — простое число, так как его делители только $1$ и $17$. Это седьмое простое число.
• $18$ — составное, так как делится на $2, 3, 6, 9$.
• $19$ — простое число, так как его делители только $1$ и $19$. Это восьмое простое число.
• Продолжая таким же образом, находим следующие простые числа:
• $23$ — простое число. Это девятое простое число.
• $29$ — простое число. Это десятое простое число.

Собрав все найденные числа, получаем искомый ряд.

Ответ: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.

3. Запишите разложение числа на простые множители:

а) $6 = 2 \cdot \underline{\quad}$

б) $10 = \underline{\quad} \cdot 5$

в) $12 = 2 \cdot \underline{\quad} \cdot \underline{\quad}$

г) $30 = 2 \cdot \underline{\quad} \cdot \underline{\quad}$

д) $16 = 2 \cdot \underline{\quad} \cdot \underline{\quad} \cdot \underline{\quad}$

е) $18 = \underline{\quad} \cdot \underline{\quad} \cdot \underline{\quad}$

Разложение числа на простые множители — это представление этого числа в виде произведения простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Для нахождения разложения будем последовательно делить число на наименьшие простые делители (2, 3, 5, 7, ...).

Чтобы разложить число 6 на простые множители, найдем его наименьший простой делитель. Это число 2. Выполним деление: $6 : 2 = 3$. Число 3 также является простым, поэтому разложение завершено.

Ответ: $6 = 2 \cdot 3$.

Для разложения числа 10 на простые множители, найдем его наименьший простой делитель. Это число 2. Выполним деление: $10 : 2 = 5$. Число 5 также является простым. Таким образом, множителями являются 2 и 5.

Ответ: $10 = 2 \cdot 5$.

Разложим число 12 на простые множители. Наименьший простой делитель — 2. $12 : 2 = 6$. Теперь разложим число 6. Его наименьший простой делитель — 2. $6 : 2 = 3$. Число 3 — простое. Собираем все найденные простые делители: 2, 2, 3.

Ответ: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Разложим число 30 на простые множители. Наименьший простой делитель — 2. $30 : 2 = 15$. Теперь разложим 15. Наименьший простой делитель 15 — это 3. $15 : 3 = 5$. Число 5 — простое. Таким образом, простыми множителями числа 30 являются 2, 3 и 5.

Ответ: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Для разложения числа 16 на простые множители будем последовательно делить его на наименьший простой делитель, то есть на 2. Выполняем деление: $16 : 2 = 8$; затем $8 : 2 = 4$; и, наконец, $4 : 2 = 2$. Последний результат, 2, также является простым числом. Таким образом, разложение числа 16 состоит из четырех множителей, равных 2.

Ответ: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.

Разложим число 18 на простые множители. Наименьший простой делитель — 2. $18 : 2 = 9$. Теперь разложим 9. Его наименьший простой делитель — 3. $9 : 3 = 3$. Число 3 — простое. Собираем все множители вместе: 2, 3, 3.

Ответ: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$.

4. Завершите разложение числа на простые множители (применяя признаки делимости):

a) 165| 3

| 55

| 55

$165 = 3 \cdot$

б) 210| 2

|

$210 = 2 \cdot$

в) 390| 2

|

$390 = $

г) 375| 3

|

$375 = $

Продолжим разложение числа 165 на простые множители. Первый шаг уже выполнен: число 165 разделили на 3, получив 55 (сумма цифр $1+6+5=12$ делится на 3).

1. Следующий шаг — разложение числа 55. По признаку делимости на 5, число, оканчивающееся на 5, делится на 5. Выполним деление: $55 \div 5 = 11$.

2. Число 11 является простым. Оно делится только на 1 и на само себя: $11 \div 11 = 1$.

Разложение завершено. Простые множители числа 165: 3, 5 и 11.

Ответ: $165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$.

Продолжим разложение числа 210. В качестве первого делителя выбрано число 2.

1. Число 210 чётное, так как оканчивается на 0, поэтому оно делится на 2: $210 \div 2 = 105$.

2. Теперь раскладываем число 105. Сумма его цифр $1+0+5=6$ делится на 3, значит, и само число делится на 3: $105 \div 3 = 35$.

3. Число 35 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5: $35 \div 5 = 7$.

4. Число 7 является простым, оно делится на 7: $7 \div 7 = 1$.

Разложение завершено. Простые множители числа 210: 2, 3, 5 и 7.

Ответ: $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Разложим число 390 на простые множители. Первый делитель — 2.

1. Число 390 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 2: $390 \div 2 = 195$.

2. Теперь раскладываем число 195. Сумма его цифр $1+9+5=15$ делится на 3, значит, и само число делится на 3: $195 \div 3 = 65$.

3. Число 65 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5: $65 \div 5 = 13$.

4. Число 13 является простым, оно делится на 13: $13 \div 13 = 1$.

Разложение завершено. Простые множители числа 390: 2, 3, 5 и 13.

Ответ: $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$.

Разложим число 375 на простые множители. Первый делитель — 3.

1. Сумма цифр числа 375 равна $3+7+5=15$. Так как 15 делится на 3, то и 375 делится на 3: $375 \div 3 = 125$.

2. Теперь раскладываем число 125. Оно оканчивается на 5, значит, делится на 5: $125 \div 5 = 25$.

3. Число 25 также делится на 5: $25 \div 5 = 5$.

4. Число 5 является простым, оно делится на 5: $5 \div 5 = 1$.

Разложение завершено. Простые множители числа 375: 3, 5, 5, 5. Запись можно сделать короче, используя степень.

Ответ: $375 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 5^3$.