Страница 17 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

2. Дано множество $A = \{0,2; 3; 15; \frac{1}{8}; 5,4; 9; 1\frac{9}{7}\}$.

Запишите его подмножество $B$, состоящее из всех натуральных чисел: $B = \{\text{___________}\}$.

Исходное множество: $A = \{0,2; 3; 15; \frac{1}{8}; 5,4; 9; 1\frac{9}{7}\}$.

Подмножество $B$ должно состоять из всех натуральных чисел, которые содержатся в множестве $A$. Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые для счёта ($1, 2, 3, \dots$).

Рассмотрим каждый элемент множества $A$ и определим, является ли он натуральным числом:
- $0,2$ — это десятичная дробь, не натуральное число.
- $3$ — это целое положительное число, следовательно, натуральное число.
- $15$ — это целое положительное число, следовательно, натуральное число.
- $\frac{1}{8}$ — это обыкновенная дробь, не натуральное число.
- $5,4$ — это десятичная дробь, не натуральное число.
- $9$ — это целое положительное число, следовательно, натуральное число.
- $1\frac{9}{7}$ — это смешанное число. Преобразуем его: $1\frac{9}{7} = 1 + \frac{9}{7} = \frac{7}{7} + \frac{9}{7} = \frac{16}{7}$. Это число не является целым, а значит, не является натуральным.

Таким образом, в подмножество $B$ войдут только те элементы из $A$, которые являются натуральными числами. Это числа $3, 15, 9$.

Запишем эти числа в подмножество $B$.

Ответ: $B = \{3; 15; 9\}$ (или в порядке возрастания $B = \{3; 9; 15\}$).

3. Даны множества $A = \{4; 1,3; 6; 9\}$ и $B = \{1; 1,3; 9; 10\}$. Запишите пересечение и объединение этих множеств.

$A \cap B = \{1,3; \text{____}\}$$, $A \cup B = \{4; 1,3; \text{______}\}$$.

Даны множества $A = \{4; 1,3; 6; 9\}$ и $B = \{1; 1,3; 9; 10\}$.

Для решения задачи необходимо найти пересечение и объединение этих множеств.

A∩B

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.
Сравним элементы данных множеств:
Множество $A = \{4; 1,3; 6; 9\}$
Множество $B = \{1; 1,3; 9; 10\}$
Общими элементами, которые входят в оба множества, являются $1,3$ и $9$.
Следовательно, пересечением множеств $A$ и $B$ будет: $A \cap B = \{1,3; 9\}$.

Ответ: $A \cap B = \{1,3; 9\}$

A∪B

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств (то есть все элементы из $A$ и все элементы из $B$ вместе, без повторений).
Для нахождения объединения, мы выписываем все элементы из множества $A$, а затем добавляем к ним те элементы из множества $B$, которые еще не были включены.
Элементы множества $A$: $4; 1,3; 6; 9$.
Уникальные элементы из множества $B$, которых нет в $A$: $1; 10$.
Объединив все эти элементы, получим: $\{4; 1,3; 6; 9; 1; 10\}$.
Для наглядности, элементы в итоговом множестве принято записывать в порядке возрастания: $A \cup B = \{1; 1,3; 4; 6; 9; 10\}$.

Ответ: $A \cup B = \{1; 1,3; 4; 6; 9; 10\}$

4. Даны множества:

a) $X = \{12; 5; 8\}$ и $Y = \{5; 8; 13\}$;

б) $A = \{3; 7; 15\}$ и $B = \{2; 9\}$.

Найдите их пересечение и объединение.

a) $X \cap Y = $ _______________ , $X \cup Y = $ _______________

б) _______________

а)

Даны множества $X = \{12; 5; 8\}$ и $Y = \{5; 8; 13\}$.

Пересечение множеств ($X \cap Y$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству $X$, и множеству $Y$. Сравнивая элементы данных множеств, мы видим, что общими являются числа 5 и 8. Следовательно, $X \cap Y = \{5; 8\}$.

Объединение множеств ($X \cup Y$) — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств. Чтобы найти объединение, мы собираем все уникальные элементы из обоих множеств. Элементы из $X$: 12, 5, 8. Элементы из $Y$: 5, 8, 13. Объединяя их, получаем множество $\{5; 8; 12; 13\}$. Следовательно, $X \cup Y = \{5; 8; 12; 13\}$.

Ответ: $X \cap Y = \{5; 8\}$, $X \cup Y = \{5; 8; 12; 13\}$.

б)

Даны множества $A = \{3; 7; 15\}$ и $B = \{2; 9\}$.

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, содержащее общие для $A$ и $B$ элементы. Сравнивая элементы, видим, что у множеств $A$ и $B$ нет общих элементов. В таком случае их пересечение является пустым множеством, что обозначается символом $\emptyset$. Следовательно, $A \cap B = \emptyset$.

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств. Объединим все элементы из $A = \{3; 7; 15\}$ и $B = \{2; 9\}$ в одно множество. Получаем $\{2; 3; 7; 9; 15\}$. Следовательно, $A \cup B = \{2; 3; 7; 9; 15\}$.

Ответ: $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = \{2; 3; 7; 9; 15\}$.

5. В классе 25 учащихся: 16 из них учат английский язык, 11 — немецкий. Каждый из учеников изучает хотя бы один язык. Сколько учащихся изучают оба языка?

Решение.

1) $25 - 16 = \text{______}$ учащихся не изучают английский язык (учат только немецкий);

2) $25 - \text{______} = \text{______}$ учащихся не изучают немецкий язык;

3) $25 - (\text{______} + \text{______}) = \text{______}$ учащихся изучают и английский, и немецкий языки.

Ответ.

A = 16 H = 11

— ? 9

25

Для решения задачи необходимо найти количество учеников, которые изучают одновременно и английский, и немецкий языки. Воспользуемся данными из условия и предложенным планом решения.

1) Сначала найдем количество учащихся, которые не изучают английский язык. Так как по условию каждый ученик изучает хотя бы один язык, то эти ученики изучают только немецкий. Для этого из общего числа учащихся (25) вычтем количество учеников, изучающих английский язык (16).

$25 - 16 = 9$ (учащихся) — не изучают английский язык, то есть изучают только немецкий.

2) Далее, аналогичным образом, найдем количество учащихся, которые не изучают немецкий язык. Эти ученики, соответственно, изучают только английский. Для этого из общего числа учащихся (25) вычтем количество учеников, изучающих немецкий язык (11).

$25 - 11 = 14$ (учащихся) — не изучают немецкий язык, то есть изучают только английский.

3) Теперь мы знаем количество учеников, которые изучают только один язык: 14 человек учат только английский и 9 человек — только немецкий. Общее число учащихся в классе (25) складывается из трёх групп: те, кто учит только английский, те, кто учит только немецкий, и те, кто учит оба языка. Чтобы найти количество учеников, изучающих оба языка, нужно из общего числа учащихся вычесть сумму учеников, изучающих только один язык.

$25 - (9 + 14) = 25 - 23 = 2$ (учащихся) — изучают и английский, и немецкий языки.

Ответ: 2.