Страница 22 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

3. Найдите наименьшее общее кратное чисел a и b, заданных разложением на простые множители:

a) $a = 2 \cdot 3 \cdot 5, b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5;$

$\text{НОК} (a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 = $

б) $a = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7, b = 3 \cdot 3 \cdot 7;$

$\text{НОК} (a, b) = $

в) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5, b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11;$

$\text{НОК} (a, b) = $

г) $a = 2 \cdot 3 \cdot 19, b = 23;$

$\text{НОК} (a, b) = $

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел, заданных разложением на простые множители, необходимо:

1. Выписать разложение одного из чисел.
2. Дополнить его теми множителями из разложения второго числа, которых нет в первом разложении или которые содержатся в нем меньшее количество раз.
3. Найти произведение получившихся множителей.

а)

Даны разложения: $a = 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.

Возьмем разложение числа $a$: $2 \cdot 3 \cdot 5$.

Сравним его с разложением числа $b$: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$. В разложении числа $b$ есть две тройки, а в разложении $a$ — только одна. Значит, нужно добавить к разложению $a$ еще один множитель $3$.

НОК($a, b$) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 90$.

Ответ: 90.

б)

Даны разложения: $a = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ и $b = 3 \cdot 3 \cdot 7$.

Возьмем разложение числа $a$: $3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$.

Все множители числа $b$ ($3, 3, 7$) уже содержатся в разложении числа $a$. В этом случае число $a$ кратно числу $b$, поэтому НОК равно большему из чисел, то есть $a$.

НОК($a, b$) = $3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 9 \cdot 49 = 441$.

Ответ: 441.

в)

Даны разложения: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$.

Возьмем разложение числа $a$: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Сравним с разложением $b$: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$. Нам не хватает одной тройки (в $a$ одна, в $b$ — две) и множителя $11$. Добавим их.

НОК($a, b$) = $(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot 3 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 11 = 72 \cdot 55 = 3960$.

Ответ: 3960.

г)

Даны разложения: $a = 2 \cdot 3 \cdot 19$ и $b = 23$.

Числа $a$ и $b$ не имеют общих простых множителей, следовательно, они взаимно простые. НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК($a, b$) = $a \cdot b = (2 \cdot 3 \cdot 19) \cdot 23 = 114 \cdot 23 = 2622$.

Ответ: 2622.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 15 и 35;

а) 1 5 | 3

| 5

1 |

3 5 |

$\text{НОК}(15, 35) = 15 \cdot = $

б) 27 и 45.

б) 2 7 | 3

4 5 |

$\text{НОК}(27, 45) = 27 \cdot = $

а) 15 и 35;

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 15 и 35, необходимо разложить их на простые множители.

1. Разложим на простые множители число 15:
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Таким образом, разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.

2. Разложим на простые множители число 35:
$35 \div 5 = 7$
$7 \div 7 = 1$
Таким образом, разложение числа 35: $35 = 5 \cdot 7$.

3. Для нахождения НОК, берём разложение первого числа ($3 \cdot 5$) и добавляем к нему недостающие множители из разложения второго числа. В разложении числа 35 есть множитель 7, которого нет в разложении числа 15.

4. Вычисляем произведение:
НОК(15, 35) = $(3 \cdot 5) \cdot 7 = 15 \cdot 7 = 105$.

Ответ: 105.

б) 27 и 45.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 27 и 45, необходимо разложить их на простые множители.

1. Разложим на простые множители число 27:
$27 \div 3 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Таким образом, разложение числа 27: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$.

2. Разложим на простые множители число 45:
$45 \div 3 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Таким образом, разложение числа 45: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

3. Для нахождения НОК, берём разложение первого числа ($3 \cdot 3 \cdot 3$) и добавляем к нему недостающие множители из разложения второго числа. В разложении числа 45 есть множитель 5, которого нет в разложении числа 27. Множители 3 уже учтены в разложении числа 27.

4. Вычисляем произведение:
НОК(27, 45) = $(3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot 5 = 27 \cdot 5 = 135$.

Ответ: 135.