Страница 24 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Сравните дроби после приведения их к общему знаменателю:

а) $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$;

НОК (3, 4) = $3 \cdot 4 = 12$, $\frac{2}{3}^{(4)} = \frac{8}{12}$, $\frac{3}{4}^{(3)} = \frac{\_\_}{\_\_}$

$\frac{8}{12} \square \_\_$, значит, $\frac{2}{3} \square \frac{3}{4}$

б) $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$;

НОК (12, 18) = \_\_\_\_, $\frac{7}{12} = \frac{\_\_}{\_\_}$, $\frac{11}{18} = \frac{\_\_}{\_\_}$

в) $\frac{7}{66}$ и $\frac{5}{44}$;

НОК (66, 44) = \_\_\_\_

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 3 и 4.

НОК(3, 4) = 12.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 12. Для этого найдем дополнительный множитель для каждой дроби, разделив новый знаменатель (12) на старый.

Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $12 \div 3 = 4$. Умножим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.

Для дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $12 \div 4 = 3$. Умножим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{8}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Поскольку у них одинаковые знаменатели, мы сравниваем их числители. Так как $8 < 9$, то $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$.

Следовательно, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{11}{18}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю, который равен НОК(12, 18).

Найдем НОК(12, 18), разложив числа на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 36.

Дополнительный множитель для $\frac{7}{12}$ равен $36 \div 12 = 3$.

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$.

Дополнительный множитель для $\frac{11}{18}$ равен $36 \div 18 = 2$.

$\frac{11}{18} = \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{22}{36}$.

Сравниваем дроби с одинаковым знаменателем: так как $21 < 22$, то $\frac{21}{36} < \frac{22}{36}$.

Следовательно, $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{7}{12} < \frac{11}{18}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{66}$ и $\frac{5}{44}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю, который равен НОК(66, 44).

Найдем НОК(66, 44), разложив числа на простые множители:

$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

$44 = 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11$

НОК(66, 44) = $2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 132$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 132.

Дополнительный множитель для $\frac{7}{66}$ равен $132 \div 66 = 2$.

$\frac{7}{66} = \frac{7 \cdot 2}{66 \cdot 2} = \frac{14}{132}$.

Дополнительный множитель для $\frac{5}{44}$ равен $132 \div 44 = 3$.

$\frac{5}{44} = \frac{5 \cdot 3}{44 \cdot 3} = \frac{15}{132}$.

Сравниваем дроби с одинаковым знаменателем: так как $14 < 15$, то $\frac{14}{132} < \frac{15}{132}$.

Следовательно, $\frac{7}{66} < \frac{5}{44}$.

Ответ: $\frac{7}{66} < \frac{5}{44}$.

2. Найдите сумму дробей:

а) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{7} $;

НОК (5, 7) = 35, $ \frac{2^{(7)}}{5} + \frac{3^{(5)}}{7} = \frac{14+15}{35} = \rule{1cm}{0.15mm} = \rule{1cm}{0.15mm} $

б) $ \frac{5}{21} $ и $ \frac{9}{14} $;

НОК (21, 14) = 42, $ \frac{5^{(2)}}{21} + \frac{9^{(3)}}{14} = \frac{\rule{0.5cm}{0.15mm} + \rule{0.5cm}{0.15mm}}{42} = \rule{1cm}{0.15mm} = \rule{1cm}{0.15mm} $

в) $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{3}{40} $

НОК (15, 40) = $ \rule{1cm}{0.15mm} $, $ \frac{7^{(8)}}{15} + \frac{3^{(3)}}{40} = \rule{1cm}{0.15mm} = \rule{1cm}{0.15mm} $

а)

Чтобы найти сумму дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{7}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей: НОК(5, 7) = 35. Дополнительный множитель для первой дроби – $35 \div 5 = 7$, для второй – $35 \div 7 = 5$.

$\frac{2}{5} + \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{3 \cdot 5}{35} = \frac{14 + 15}{35} = \frac{29}{35}$.

Ответ: $\frac{29}{35}$.

б)

Чтобы найти сумму дробей $\frac{5}{21}$ и $\frac{9}{14}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю, равному НОК(21, 14). Так как $21 = 3 \cdot 7$ и $14 = 2 \cdot 7$, то НОК(21, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Дополнительный множитель для первой дроби – $42 \div 21 = 2$, для второй – $42 \div 14 = 3$.

$\frac{5}{21} + \frac{9}{14} = \frac{5 \cdot 2}{42} + \frac{9 \cdot 3}{42} = \frac{10 + 27}{42} = \frac{37}{42}$.

Ответ: $\frac{37}{42}$.

в)

Чтобы найти сумму дробей $\frac{7}{15}$ и $\frac{3}{40}$, найдем их наименьший общий знаменатель: НОК(15, 40). Разложим знаменатели на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$ и $40 = 2^3 \cdot 5$. Тогда НОК(15, 40) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$. Дополнительный множитель для первой дроби – $120 \div 15 = 8$, для второй – $120 \div 40 = 3$.

$\frac{7}{15} + \frac{3}{40} = \frac{7 \cdot 8}{120} + \frac{3 \cdot 3}{120} = \frac{56 + 9}{120} = \frac{65}{120}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 5:

$\frac{65}{120} = \frac{65 \div 5}{120 \div 5} = \frac{13}{24}$.

Ответ: $\frac{13}{24}$.