Страница 21 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

a) 20 и 35;

а) 2 0 3 5

$НОД(20, 35) = $

б) 18 и 45;

б) 1 8 4 5

$НОД(18, 45) = $

а) 20 и 35

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, нужно разложить их на простые множители и найти произведение их общих множителей.

1. Разложим на простые множители число 20:

$20 \div 2 = 10$
$10 \div 2 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Таким образом, $20 = 2 \times 2 \times 5$.

2. Разложим на простые множители число 35:

$35 \div 5 = 7$
$7 \div 7 = 1$
Таким образом, $35 = 5 \times 7$.

3. Найдем общие множители в разложениях чисел 20 и 35. Единственный общий множитель - это 5.

Следовательно, НОД(20, 35) = 5.

Ответ: 5.

б) 18 и 45

Аналогично найдем НОД для чисел 18 и 45.

1. Разложим на простые множители число 18:

$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Таким образом, $18 = 2 \times 3 \times 3$.

2. Разложим на простые множители число 45:

$45 \div 3 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Таким образом, $45 = 3 \times 3 \times 5$.

3. Найдем общие множители в разложениях чисел 18 и 45. Общими множителями являются 3 и 3.

4. Перемножим общие множители, чтобы найти НОД: $3 \times 3 = 9$.

Следовательно, НОД(18, 45) = 9.

Ответ: 9.

4. Подчеркните пары взаимно простых чисел:

7 и 9; 27 и 30; 20 и 19; 24 и 72; 51 и 63; 43 и 57.

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, какие пары являются взаимно простыми, нужно найти их НОД. Если НОД равен 1, то числа взаимно простые.

7 и 9
Найдем делители для каждого числа:
Делители 7: 1, 7.
Делители 9: 1, 3, 9.
Единственный общий делитель для 7 и 9 — это число 1. Следовательно, НОД(7, 9) = 1. Пара является взаимно простой.
Ответ: взаимно простые.

27 и 30
Разложим оба числа на простые множители:
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
У чисел есть общий множитель 3. Значит, их НОД больше единицы (НОД(27, 30) = 3). Пара не является взаимно простой.
Ответ: не взаимно простые.

20 и 19
Число 19 — простое, его делители только 1 и 19. Число 20 на 19 не делится. Таким образом, их единственный общий делитель — 1. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые. НОД(20, 19) = 1. Пара является взаимно простой.
Ответ: взаимно простые.

24 и 72
Число 72 делится на 24 нацело: $72 \div 24 = 3$. Это означает, что 24 является общим делителем. Так как 24 — это наибольший возможный делитель для самого себя, то НОД(24, 72) = 24. Так как НОД не равен 1, пара не является взаимно простой.
Ответ: не взаимно простые.

51 и 63
Проверим оба числа на делимость на 3. Сумма цифр числа 51: $5 + 1 = 6$. 6 делится на 3, значит и 51 делится на 3. Сумма цифр числа 63: $6 + 3 = 9$. 9 делится на 3, значит и 63 делится на 3. Так как оба числа делятся на 3, у них есть общий делитель, отличный от 1. НОД(51, 63) = 3. Пара не является взаимно простой.
Ответ: не взаимно простые.

43 и 57
Число 43 является простым, его делители — 1 и 43.
Проверим, делится ли 57 на 43. Нет, не делится. Значит, их единственный общий делитель — 1.
Можно также разложить 57 на множители: $5+7=12$, значит 57 делится на 3. $57 = 3 \cdot 19$.
Простые множители 43: {43}.
Простые множители 57: {3, 19}.
Общих простых множителей нет, поэтому НОД(43, 57) = 1. Пара является взаимно простой.
Ответ: взаимно простые.

Таким образом, взаимно простыми являются следующие пары чисел: 7 и 9; 20 и 19; 43 и 57.

1. Запишите четыре числа, кратные данному числу.

а) 8: 8, 16 __________ __________

б) 12: __________ __________ __________ __________

в) 15: __________ __________ __________ __________

г) 14: __________ __________ __________ __________

Число, кратное данному, — это число, которое делится на данное без остатка. Чтобы найти числа, кратные данному, нужно умножить это число на любое натуральное число (1, 2, 3, 4 и так далее).

а) Для числа 8 нужно найти четыре кратных ему числа. Первые два уже даны в примере: $8 \times 1 = 8$ и $8 \times 2 = 16$. Найдем следующие два, умножив 8 на 3 и 4:
$8 \times 3 = 24$
$8 \times 4 = 32$
Четыре числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32.
Ответ: 8, 16, 24, 32.

б) Для числа 12 найдем первые четыре кратных ему числа, умножив 12 на 1, 2, 3 и 4:
$12 \times 1 = 12$
$12 \times 2 = 24$
$12 \times 3 = 36$
$12 \times 4 = 48$
Четыре числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48.
Ответ: 12, 24, 36, 48.

в) Для числа 15 найдем первые четыре кратных ему числа, умножив 15 на 1, 2, 3 и 4:
$15 \times 1 = 15$
$15 \times 2 = 30$
$15 \times 3 = 45$
$15 \times 4 = 60$
Четыре числа, кратные 15: 15, 30, 45, 60.
Ответ: 15, 30, 45, 60.

г) Для числа 14 найдем первые четыре кратных ему числа, умножив 14 на 1, 2, 3 и 4:
$14 \times 1 = 14$
$14 \times 2 = 28$
$14 \times 3 = 42$
$14 \times 4 = 56$
Четыре числа, кратные 14: 14, 28, 42, 56.
Ответ: 14, 28, 42, 56.

2. Запишите два общих кратных числа:

a) $7$ и $3$: $21$, ___

б) $2$ и $6$: $6$, ___

в) $8$ и $12$: $24$, ___

а) 7 и 3: 21, _

Общим кратным двух или нескольких натуральных чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Чтобы найти общие кратные для чисел 7 и 3, мы можем найти их наименьшее общее кратное (НОК). Все остальные общие кратные будут кратны НОК.

Числа 7 и 3 являются простыми, поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению:
$НОК(7, 3) = 7 \times 3 = 21$.

Это первое общее кратное, которое уже дано в условии. Чтобы найти следующее общее кратное, нужно НОК умножить на 2:
$21 \times 2 = 42$.

Можно продолжить и найти другие общие кратные: $21 \times 3 = 63$, $21 \times 4 = 84$ и так далее.

В качестве второго общего кратного запишем 42.
Ответ: 42.

б) 2 и 6: 6, _

Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 2 и 6.

Так как число 6 делится на 2 без остатка ($6 : 2 = 3$), то НОК этих двух чисел будет равно большему из них, то есть 6.
$НОК(2, 6) = 6$.

Первое общее кратное уже дано — это 6. Чтобы найти второе общее кратное, умножим НОК на 2:
$6 \times 2 = 12$.

Следующие общие кратные: $6 \times 3 = 18$, $6 \times 4 = 24$ и так далее.

Запишем второе общее кратное.
Ответ: 12.

в) 8 и 12: 24, _

Чтобы найти общие кратные для чисел 8 и 12, сначала найдём их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого разложим оба числа на простые множители.
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

Теперь выпишем все простые множители, которые встречаются в разложениях, и возьмём каждый из них с наибольшим показателем степени:
$НОК(8, 12) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$.

Первое общее кратное, равное НОК, уже дано — это 24. Для нахождения второго общего кратного умножим НОК на 2:
$24 \times 2 = 48$.

Другие общие кратные: $24 \times 3 = 72$, $24 \times 4 = 96$ и т.д.

В качестве второго общего кратного запишем 48.
Ответ: 48.