Страница 27 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Вычислите:

а) $ \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{9} = \frac{6 \cdot 5}{11 \cdot 9} = \text{______} = \text{______} $

б) $ \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \text{______} = \text{______} $

в) $ \left(1\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \text{______} = \text{______} $

г) $ 3 \cdot \frac{7}{13} = \frac{3}{1} \cdot \frac{7}{13} = \text{______} = \text{______} $

д) $ \frac{4}{9} \cdot 2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{1} = \text{______} = \text{______} $

а) Чтобы умножить одну дробь на другую, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Результат, если возможно, следует сократить.

$\frac{6}{11} \cdot \frac{5}{9} = \frac{6 \cdot 5}{11 \cdot 9}$

Можно сократить множители 6 и 9 на их общий делитель 3 до выполнения умножения:

$\frac{6 \cdot 5}{11 \cdot 9} = \frac{(6 \div 3) \cdot 5}{11 \cdot (9 \div 3)} = \frac{2 \cdot 5}{11 \cdot 3} = \frac{10}{33}$

Ответ: $\frac{10}{33}$

б) Возведение дроби в степень означает умножение этой дроби на саму себя указанное количество раз. В данном случае, дробь умножается на себя один раз (вторая степень).

$(\frac{2}{5})^2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{4}{25}$

Ответ: $\frac{4}{25}$

в) Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь возводим полученную неправильную дробь в третью степень:

$(\frac{4}{3})^3 = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{64}{27}$

Так как полученная дробь неправильная (числитель больше знаменателя), выделим целую часть:

$64 \div 27 = 2$ (остаток $10$)

Следовательно, $\frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$

Ответ: $2\frac{10}{27}$

г) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно представить это число в виде дроби со знаменателем 1.

$3 \cdot \frac{7}{13} = \frac{3}{1} \cdot \frac{7}{13} = \frac{3 \cdot 7}{1 \cdot 13} = \frac{21}{13}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$21 \div 13 = 1$ (остаток $8$)

Следовательно, $\frac{21}{13} = 1\frac{8}{13}$

Ответ: $1\frac{8}{13}$

д) Чтобы умножить дробь на целое число, представляем целое число в виде дроби и выполняем умножение.

$\frac{4}{9} \cdot 2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 1} = \frac{8}{9}$

Полученная дробь является правильной и несократимой.

Ответ: $\frac{8}{9}$

2. Вычислите:

а) $2\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{3} = \frac{12}{5} \cdot \frac{\text{____}}{3} = \frac{\text{____}}{\text{____}} = \frac{\text{____}}{\text{____}} = \text{____}$

б) $1\frac{4}{7} \cdot 2\frac{5}{22} = \text{____}$

а) $2\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{3}$

Для того чтобы умножить смешанные числа, необходимо сначала преобразовать их в неправильные дроби. Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Для преобразования нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к результату числитель. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Преобразуем первое число $2\frac{2}{5}$:

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{10 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Преобразуем второе число $1\frac{2}{3}$:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь умножим полученные неправильные дроби. Для этого нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 3}$

Перед вычислением произведения можно сократить дробь. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть множитель 5, который можно сократить. Также число 12 в числителе и 3 в знаменателе делятся на 3.

$\frac{\cancel{12}^4}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{3}_1} = \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 1} = \frac{4}{1} = 4$

Ответ: $4$

б) $1\frac{4}{7} \cdot 2\frac{5}{22}$

Действуем аналогично предыдущему пункту: сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Преобразуем первое число $1\frac{4}{7}$:

$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

Преобразуем второе число $2\frac{5}{22}$:

$2\frac{5}{22} = \frac{2 \cdot 22 + 5}{22} = \frac{44 + 5}{22} = \frac{49}{22}$

Теперь умножим полученные дроби:

$\frac{11}{7} \cdot \frac{49}{22} = \frac{11 \cdot 49}{7 \cdot 22}$

Сократим дробь перед вычислением. Число 11 в числителе и 22 в знаменателе имеют общий делитель 11. Число 49 в числителе и 7 в знаменателе имеют общий делитель 7.

$\frac{\cancel{11}^1}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{49}^7}{\cancel{22}_2} = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2} = \frac{7}{2}$

Результат получился в виде неправильной дроби. Преобразуем его обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком. Целая часть частного будет целой частью смешанного числа, остаток — числителем, а знаменатель останется прежним.

$7 \div 2 = 3$ (остаток $1$)

$\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $3\frac{1}{2}$

3. Вычислите и представьте ответ в виде десятичной дроби:

a) $2\frac{7}{10} \cdot \left(1\frac{2}{3}\right)^2 - 1\frac{3}{4} = \frac{\square}{10} \cdot \left(\frac{\square}{3}\right)^2 - \frac{\square}{4} = \frac{\square \cdot \square}{10 \cdot 3 \cdot 3} - \frac{\square}{4} = \frac{\square}{2} - \frac{\square}{4} = $

б) $3\frac{5}{12} - \left(1\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{2}{9} = 3\frac{5}{12} - \frac{\square \cdot \square \cdot 2}{\square \cdot \square \cdot 9} = $

а) $2\frac{7}{10} \cdot (1\frac{2}{3})^2 - 1\frac{3}{4}$

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений:

$2\frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{27}{10}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

2. Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\frac{27}{10} \cdot (\frac{5}{3})^2 - \frac{7}{4}$

3. Согласно порядку действий, сначала выполним возведение в степень:

$(\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$

4. Теперь выполним умножение. Для этого подставим результат возведения в степень в выражение и сократим дроби:

$\frac{27}{10} \cdot \frac{25}{9} = \frac{27 \cdot 25}{10 \cdot 9} = \frac{^3\cancel{27} \cdot ^5\cancel{25}}{_2\cancel{10} \cdot _1\cancel{9}} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{15}{2}$

5. Последнее действие — вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 4:

$\frac{15}{2} - \frac{7}{4} = \frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{7}{4} = \frac{30}{4} - \frac{7}{4} = \frac{30 - 7}{4} = \frac{23}{4}$

6. Представим ответ в виде десятичной дроби:

$\frac{23}{4} = 23 \div 4 = 5,75$

Ответ: $5,75$

б) $3\frac{5}{12} - (1\frac{1}{2})^3 \cdot \frac{2}{9}$

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{41}{12}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Подставим дроби в выражение:

$\frac{41}{12} - (\frac{3}{2})^3 \cdot \frac{2}{9}$

3. Выполним возведение в степень:

$(\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$

4. Выполним умножение, предварительно сократив:

$\frac{27}{8} \cdot \frac{2}{9} = \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 9} = \frac{^3\cancel{27} \cdot ^1\cancel{2}}{_4\cancel{8} \cdot _1\cancel{9}} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

5. Выполним вычитание. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{41}{12} - \frac{3}{4} = \frac{41}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{41}{12} - \frac{9}{12} = \frac{41 - 9}{12} = \frac{32}{12}$

6. Сократим полученную дробь:

$\frac{32}{12} = \frac{32 \div 4}{12 \div 4} = \frac{8}{3}$

7. Представим ответ в виде десятичной дроби. В данном случае получится бесконечная периодическая дробь:

$\frac{8}{3} = 8 \div 3 = 2,666... = 2,(6)$

Ответ: $2,(6)$