Страница 30 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

4. Упростите выражение:

а) $2\frac{1}{3}a + 1\frac{5}{6}a = \left(2\frac{1}{3} + 1\frac{5}{6}\right)a = \left(2 + \frac{1}{3} + 1 + \frac{5}{6}\right)a = \underline{\hspace{2cm}}$

$= \underline{\hspace{2cm}} = 4\frac{1}{6}a$

б) $6\frac{1}{4}b - \frac{5}{8}b = \frac{25}{4}b - \frac{5}{8}b = \left(\underline{\hspace{1.5cm}} - \underline{\hspace{1.5cm}}\right)b = \underline{\hspace{1.5cm}}$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо сложить коэффициенты перед переменной $a$. Для этого вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$2\frac{1}{3}a + 1\frac{5}{6}a = (2\frac{1}{3} + 1\frac{5}{6})a$

Теперь сложим смешанные числа в скобках. Сначала сложим целые части, а затем дробные:

$2 + 1 = 3$

$\frac{1}{3} + \frac{5}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$

Сложим дробные части:

$\frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{2+5}{6} = \frac{7}{6}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{6}$ в смешанное число:

$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

Теперь сложим полученные целую и дробную части:

$3 + 1\frac{1}{6} = 4\frac{1}{6}$

Таким образом, выражение упрощается до:

$4\frac{1}{6}a$

Ответ: $4\frac{1}{6}a$

б) Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить вычитание коэффициентов перед переменной $b$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$6\frac{1}{4}b - \frac{5}{8}b = (6\frac{1}{4} - \frac{5}{8})b$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число $6\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

Теперь выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю 8:

$\frac{25}{4} = \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{50}{8}$

Выполним вычитание:

$\frac{50}{8} - \frac{5}{8} = \frac{50-5}{8} = \frac{45}{8}$

Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$45 \div 8 = 5$ с остатком $5$.

$\frac{45}{8} = 5\frac{5}{8}$

Таким образом, выражение упрощается до:

$5\frac{5}{8}b$

Ответ: $5\frac{5}{8}b$

1. Запишите число, обратное данному:

a) $ \frac{1}{4} $, ему обратное — $ \frac{4}{1} = 4 $

б) $ \frac{2}{7} $, ему обратное — $ \frac{7}{2} = $

в) $ 3 = \frac{3}{1} $, ему обратное —

г) $ 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6} $, ему обратное —

а) Дано число $\frac{1}{4}$. Чтобы найти обратное ему число, нужно "перевернуть" дробь, то есть поменять местами числитель и знаменатель.
Обратным к числу $\frac{1}{4}$ является число $\frac{4}{1}$.
Так как любая дробь, у которой знаменатель равен 1, равна своему числителю, то $\frac{4}{1} = 4$.
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Проверим: $\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Решение в примере верное.
Ответ: 4.

б) Дано число $\frac{2}{7}$.
Чтобы найти обратное ему число, меняем местами числитель и знаменатель. Обратным к $\frac{2}{7}$ будет дробь $\frac{7}{2}$.
Дробь $\frac{7}{2}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя. Представим ее в виде смешанного числа. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:
$7 \div 2 = 3$ и $1$ в остатке.
Неполное частное (3) становится целой частью, остаток (1) — числителем, а делитель (2) — знаменателем дробной части.
Таким образом, $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{1}{2}$.

в) Дано целое число 3.
Чтобы найти обратное ему число, сначала представим его в виде дроби. Любое целое число можно записать как дробь со знаменателем 1:
$3 = \frac{3}{1}$.
Теперь найдем обратное число для дроби $\frac{3}{1}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Обратным к $\frac{3}{1}$ является число $\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Дано смешанное число $3\frac{1}{6}$.
Чтобы найти обратное ему число, сначала нужно перевести его в неправильную дробь. Для этого умножаем целую часть на знаменатель и к результату прибавляем числитель; полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним.
$3\frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{18 + 1}{6} = \frac{19}{6}$.
Теперь для полученной неправильной дроби $\frac{19}{6}$ находим обратную, поменяв местами числитель и знаменатель.
Обратным к $\frac{19}{6}$ является число $\frac{6}{19}$.
Ответ: $\frac{6}{19}$.

2. Найдите удобным способом значение выражения:

а) $ \frac{13}{15} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{13}{15} \cdot \left(\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}\right) = \frac{13}{15} \cdot \underline{\hspace{1em}} = \underline{\hspace{1em}} $

б) $ \frac{4}{9} \cdot \frac{6}{11} \cdot 2\frac{1}{4} = \frac{4}{9} \cdot 2\frac{1}{4} \cdot \frac{6}{11} = \frac{4}{9} \cdot \underline{\hspace{1em}} \cdot \frac{6}{11} = \underline{\hspace{1em}} $

в) $ \frac{3}{20} \cdot 1\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{11} = \underline{\hspace{1em}} $

а) Для нахождения значения выражения $\frac{13}{15} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$ удобным способом, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{7}$, так как они являются взаимно обратными.

$\frac{13}{15} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{13}{15} \cdot (\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7})$

Произведение взаимно обратных дробей равно единице:

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{7 \cdot 8}{8 \cdot 7} = \frac{56}{56} = 1$

Теперь умножим оставшуюся дробь на 1:

$\frac{13}{15} \cdot 1 = \frac{13}{15}$

Ответ: $\frac{13}{15}$

б) В выражении $\frac{4}{9} \cdot \frac{6}{11} \cdot 2\frac{1}{4}$ сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь.

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{4}{9} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{9}{4}$

Переставим множители, чтобы сгруппировать взаимно обратные дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{9}{4}$:

$(\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}) \cdot \frac{6}{11}$

Произведение $\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}$ равно 1.

$1 \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$

Ответ: $\frac{6}{11}$

в) В выражении $\frac{3}{20} \cdot 1\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{11}$ преобразуем смешанное число $1\frac{5}{6}$ в неправильную дробь.

$1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$

Подставим полученную дробь в выражение:

$\frac{3}{20} \cdot \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{11}$

Сгруппируем взаимно обратные дроби $\frac{11}{6}$ и $\frac{6}{11}$:

$\frac{3}{20} \cdot (\frac{11}{6} \cdot \frac{6}{11})$

Произведение в скобках равно 1.

$\frac{3}{20} \cdot 1 = \frac{3}{20}$

Ответ: $\frac{3}{20}$