Страница 36 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

4. Примените основное свойство пропорции:

a) $\frac{14}{21} = \frac{6}{9}$; $14 \cdot 9 = \underline{\hspace{1em}} \cdot \underline{\hspace{1em}}$

б) $\frac{a}{13} = \frac{5}{6}$; $\underline{\hspace{3em}}$

в) $17 : b = 20 : 19$; $17 \cdot \underline{\hspace{1em}} = b \cdot \underline{\hspace{1em}}$

г) $5 : 8 = x : 23$; $\underline{\hspace{3em}}$

а) Основное свойство пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ заключается в том, что произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$. Для пропорции $\frac{14}{21} = \frac{6}{9}$ крайними членами являются 14 и 9, а средними – 21 и 6. Применяя свойство, получаем равенство: $14 \cdot 9 = 21 \cdot 6$.
Проверим вычисления: $14 \cdot 9 = 126$ и $21 \cdot 6 = 126$. Равенство верно.
Ответ: $14 \cdot 9 = 21 \cdot 6$.

б) Дана пропорция $\frac{a}{13} = \frac{5}{6}$. Применяя основное свойство пропорции, приравниваем произведение крайних членов ($a$ и 6) к произведению средних членов (13 и 5).
Получаем уравнение:
$a \cdot 6 = 13 \cdot 5$
$6a = 65$
Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 6:
$a = \frac{65}{6}$
Выделим целую часть:
$a = 10\frac{5}{6}$
Ответ: $a = 10\frac{5}{6}$.

в) Пропорция $17 : b = 20 : 19$ может быть записана в виде дроби $\frac{17}{b} = \frac{20}{19}$. Крайние члены этой пропорции – 17 и 19, а средние – $b$ и 20. По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних. Таким образом, получаем равенство:
$17 \cdot 19 = b \cdot 20$
Ответ: $17 \cdot 19 = b \cdot 20$.

г) Дана пропорция $5 : 8 = x : 23$. Запишем её в виде $\frac{5}{8} = \frac{x}{23}$. Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов (5 и 23) равно произведению средних членов (8 и $x$).
Получаем уравнение:
$5 \cdot 23 = 8 \cdot x$
$115 = 8x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{115}{8}$
Выделим целую часть:
$x = 14\frac{3}{8}$
Ответ: $x = 14\frac{3}{8}$.

5. Составьте из множителей четыре пропорции с разными отношениями:

a) $8 \cdot 11 = 2 \cdot 44;$

$\frac{8}{2} = \frac{44}{11}$, $\text{\rule{0.8em}{0.15ex}} = \text{\rule{0.8em}{0.15ex}}$, $\frac{2}{11} = \text{\rule{0.8em}{0.15ex}}$

б) $3 \cdot 15 = 5 \cdot 9;$

Для составления пропорций из равенства произведений, такого как $a \cdot d = b \cdot c$, используется основное свойство пропорции. Согласно этому свойству, произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Это позволяет нам записать равенство в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Переставляя множители в исходном равенстве, можно получить несколько различных пропорций.

а)

Дано равенство: $8 \cdot 11 = 2 \cdot 44$. Проверим его: $88 = 88$.

Исходя из этого равенства, можно составить следующие четыре пропорции с различными отношениями:

1. Разделив обе части равенства $8 \cdot 11 = 2 \cdot 44$ на произведение $2 \cdot 11$, получим $\frac{8 \cdot 11}{2 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 44}{2 \cdot 11}$, что приводит к пропорции $\frac{8}{2} = \frac{44}{11}$. Значение этого отношения равно $4$.

2. Разделив обе части равенства на $44 \cdot 11$, получим $\frac{8 \cdot 11}{44 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 44}{44 \cdot 11}$, что приводит к пропорции $\frac{8}{44} = \frac{2}{11}$. Значение этого отношения равно $\frac{2}{11}$.

3. Разделив обе части равенства на $2 \cdot 8$, получим $\frac{11 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{44 \cdot 2}{2 \cdot 8}$, что приводит к пропорции $\frac{11}{2} = \frac{44}{8}$. Значение этого отношения равно $5.5$.

4. Разделив обе части равенства на $44 \cdot 8$, получим $\frac{11 \cdot 8}{44 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 44}{44 \cdot 8}$, что приводит к пропорции $\frac{11}{44} = \frac{2}{8}$. Значение этого отношения равно $\frac{1}{4}$.

Таким образом, мы получили четыре пропорции с четырьмя различными отношениями: $4$, $\frac{2}{11}$, $5.5$ и $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{8}{2} = \frac{44}{11}$; $\frac{8}{44} = \frac{2}{11}$; $\frac{11}{2} = \frac{44}{8}$; $\frac{11}{44} = \frac{2}{8}$.

б)

Дано равенство: $3 \cdot 15 = 5 \cdot 9$. Проверим его: $45 = 45$.

Аналогично предыдущему пункту, составим четыре пропорции с различными отношениями:

1. Из $3 \cdot 15 = 5 \cdot 9$ следует пропорция $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. Отношение равно $\frac{3}{5}$.

2. Из $3 \cdot 15 = 9 \cdot 5$ следует пропорция $\frac{3}{9} = \frac{5}{15}$. Отношение равно $\frac{1}{3}$.

3. Из $15 \cdot 3 = 5 \cdot 9$ следует пропорция $\frac{15}{5} = \frac{9}{3}$. Отношение равно $3$.

4. Из $15 \cdot 3 = 9 \cdot 5$ следует пропорция $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$. Отношение равно $\frac{5}{3}$.

Таким образом, мы получили четыре пропорции с четырьмя различными отношениями: $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{3}$, $3$ и $\frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$; $\frac{3}{9} = \frac{5}{15}$; $\frac{15}{5} = \frac{9}{3}$; $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.

6. Найдите неизвестный член пропорции:

а) $x : 7 = 12 \cdot 3$;

по основному свойству пропорции $x \cdot 3 = 7 \cdot 12$,

откуда $x = \frac{7 \cdot 12}{3} = \underline{\hspace{2em}}$

б) $\frac{4}{14} = \frac{x}{35}$;

$4 \cdot 35 = \underline{\hspace{2em}}$, откуда $x = \frac{4 \cdot 35}{\underline{\hspace{2em}}} = \underline{\hspace{2em}} = \underline{\hspace{2em}}$

в) $5 : 9 = 4 : x$;

г) $1\frac{1}{3} : x = \frac{2}{5} : \frac{1}{4}$;

Дана пропорция $x : 7 = 12 : 3$.

Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Крайние члены этой пропорции — $x$ и $3$, а средние — $7$ и $12$.

Запишем равенство:

$x \cdot 3 = 7 \cdot 12$

Вычислим произведение в правой части:

$7 \cdot 12 = 84$

Получаем уравнение:

$3x = 84$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{84}{3}$

$x = 28$

Ответ: $28$.

Дана пропорция $\frac{4}{14} = \frac{x}{35}$.

Используя основное свойство пропорции (правило перекрестного умножения), получаем:

$4 \cdot 35 = 14 \cdot x$

Вычислим произведение в левой части:

$4 \cdot 35 = 140$

Получаем уравнение:

$140 = 14x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 14:

$x = \frac{140}{14}$

$x = 10$

Ответ: $10$.

Дана пропорция $5 : 9 = 4 : x$.

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($5$ и $x$) равно произведению средних членов ($9$ и $4$).

Запишем равенство:

$5 \cdot x = 9 \cdot 4$

Вычислим произведение в правой части:

$9 \cdot 4 = 36$

Получаем уравнение:

$5x = 36$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{36}{5}$

Представим результат в виде десятичной дроби:

$x = 7.2$

Ответ: $7.2$.

Дана пропорция $1\frac{1}{3} : x = \frac{2}{5} : \frac{1}{4}$.

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($1\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$) равно произведению средних членов ($x$ и $\frac{2}{5}$).

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь запишем равенство для пропорции:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = x \cdot \frac{2}{5}$

Вычислим произведение в левой части, сократив на 4:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Получаем уравнение:

$\frac{1}{3} = \frac{2}{5}x$

Чтобы найти $x$, разделим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{5}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = \frac{1}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2}$

$x = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.