Страница 42 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Постройте точки, симметричные точкам $A$, $B$, $C$ и $D$ относительно прямой $a$.

21. Масштаб

1. Расстояние по прямой от Москвы до Самары равно 860 км.

Найдите масштаб карты, если это расстояние равно:

а) 4.3 см;

б) 86 мм.

Решение: а) 860 км

Чтобы построить точку, симметричную данной точке относительно прямой (оси симметрии), нужно из данной точки опустить перпендикуляр на эту прямую и продолжить его на такое же расстояние по другую сторону от прямой. Конец полученного отрезка и будет искомой симметричной точкой. Этот процесс называется осевой симметрией.

Если точка лежит на самой прямой (оси симметрии), то она симметрична самой себе.

Точка A

Для построения точки A', симметричной точке A относительно прямой a, выполним следующие шаги:

1. С помощью угольника или циркуля и линейки проведем из точки A прямую, перпендикулярную прямой a.
2. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой a как $M_A$.
3. Измерим циркулем расстояние от точки A до точки $M_A$.
4. На перпендикуляре, по другую сторону от прямой a, отложим от точки $M_A$ отрезок $M_A A'$, равный по длине отрезку $A M_A$.

Точка A' — искомая точка, симметричная точке A. Условия симметрии выполнены: отрезок $A A'$ перпендикулярен прямой a ($A A' \perp a$), и прямая a делит его пополам ($A M_A = M_A A'$).

Ответ: Точка A' построена. Она расположена с другой стороны от прямой a на том же расстоянии, что и точка A, на перпендикуляре, проведенном из A к прямой a.

Точка B

Для построения точки B', симметричной точке B относительно прямой a, выполним аналогичные действия:

1. Проведем из точки B перпендикуляр к прямой a и отметим точку их пересечения $M_B$.
2. Продолжим перпендикуляр за прямую a.
3. Отложим на продолжении перпендикуляра отрезок $M_B B'$, равный отрезку $B M_B$.

Точка B' — искомая точка, симметричная точке B. Выполнены условия: $B B' \perp a$ и $B M_B = M_B B'$.

Ответ: Точка B' построена. Она расположена с другой стороны от прямой a на том же расстоянии, что и точка B, на перпендикуляре, проведенном из B к прямой a.

Точка C

Для построения точки C', симметричной точке C относительно прямой a:

1. Проведем из точки C перпендикуляр к прямой a и отметим точку их пересечения $M_C$.
2. Продолжим перпендикуляр за прямую a (в данном случае, на ту сторону, где находятся точки A и B).
3. Отложим на продолжении перпендикуляра отрезок $M_C C'$, равный отрезку $C M_C$.

Точка C' — искомая точка, симметричная точке C. Выполнены условия: $C C' \perp a$ и $C M_C = M_C C'$.

Ответ: Точка C' построена. Она расположена с другой стороны от прямой a на том же расстоянии, что и точка C, на перпендикуляре, проведенном из C к прямой a.

Точка D

Точка D лежит на прямой a. Согласно определению осевой симметрии, любая точка, принадлежащая оси симметрии, отображается на саму себя (является неподвижной).

Таким образом, точка D', симметричная точке D относительно прямой a, совпадает с самой точкой D.

Ответ: Точка, симметричная точке D, есть сама точка D ($D' = D$).

2. Постройте отрезки, симметричные данным относительно

прямой $n$.

2. Масштаб карты $1 : 25 000$. Какое расстояние на местности

соответствует на карте расстоянию:

а) $9$ см;

б) $5$ см?

Решение:

а) Пусть $x$ см искомое расстояние на местности, тогда $1 : 25 000 = x$, отсюда $x = $

(м)

б)

Для построения отрезка, симметричного данному относительно прямой, необходимо построить точки, симметричные концам этого отрезка, и соединить их. Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно прямой $n$, если прямая $n$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что отрезок $AA'$ должен быть перпендикулярен прямой $n$ и расстояние от точки $A$ до прямой $n$ должно быть равно расстоянию от точки $A'$ до прямой $n$.

Построение отрезка, симметричного отрезку AB

1. Чтобы построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $n$, проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $n$. Пусть они пересекаются в точке $O_A$.
2. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $O_A$ отрезок $O_A A'$ так, чтобы $O_A A' = A O_A$ и точка $A'$ лежала с другой стороны от прямой $n$.
3. Аналогично построим точку $B'$, симметричную точке $B$. Проведем через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $n$, и пусть она пересечет прямую $n$ в точке $O_B$.
4. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $O_B$ отрезок $O_B B'$ так, чтобы $O_B B' = B O_B$ и точка $B'$ лежала с другой стороны от прямой $n$.
5. Соединим точки $A'$ и $B'$ отрезком. Отрезок $A'B'$ — искомый, он симметричен отрезку $AB$ относительно прямой $n$.

Ответ: Отрезок $A'B'$, где точки $A'$ и $B'$ симметричны точкам $A$ и $B$ относительно прямой $n$.

Построение отрезка, симметричного отрезку CD

1. Точка $C$ лежит на оси симметрии, прямой $n$. Любая точка, лежащая на оси симметрии, симметрична самой себе. Следовательно, симметричная ей точка $C'$ совпадает с точкой $C$.
2. Для построения точки $D'$, симметричной точке $D$, проведем через точку $D$ прямую, перпендикулярную прямой $n$. Пусть они пересекаются в точке $O_D$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $O_D$ отрезок $O_D D'$ так, чтобы $O_D D' = D O_D$ и точка $D'$ лежала с другой стороны от прямой $n$.
4. Соединим точки $C'$ (то есть $C$) и $D'$ отрезком. Отрезок $CD'$ — искомый, он симметричен отрезку $CD$ относительно прямой $n$.

Ответ: Отрезок $CD'$, где точка $C'$ совпадает с точкой $C$, а точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $n$.

Построение отрезка, симметричного отрезку MN

1. Для построения точки $M'$, симметричной точке $M$, проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямой $n$. Пусть они пересекаются в точке $O_M$.
2. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $O_M$ отрезок $O_M M'$ так, чтобы $O_M M' = M O_M$ и точка $M'$ лежала с другой стороны от прямой $n$.
3. Для построения точки $N'$, симметричной точке $N$, проведем через точку $N$ прямую, перпендикулярную прямой $n$. Пусть они пересекаются в точке $O_N$.
4. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $O_N$ отрезок $O_N N'$ так, чтобы $O_N N' = N O_N$ и точка $N'$ лежала с другой стороны от прямой $n$.
5. Соединим точки $M'$ и $N'$ отрезком. Отрезок $M'N'$ — искомый, он симметричен отрезку $MN$ относительно прямой $n$. Поскольку исходный отрезок $MN$ пересекает ось симметрии, то и симметричный ему отрезок $M'N'$ будет пересекать ее в той же точке.

Ответ: Отрезок $M'N'$, где точки $M'$ и $N'$ симметричны точкам $M$ и $N$ относительно прямой $n$.