Страница 39 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

3. Автомобиль проехал 120 км за $1 \frac{1}{3}$ ч. Какое расстояние автомобиль проедет за 3 ч?

Решение. При движении с постоянной скоростью пройденное расстояние __________ пропорционально времени движения.

Расстояние Время

120 км $1 \frac{1}{3}$ ч

$x$ км 2 ч

$120 : x = \underline{\hspace{2cm}}$, $x = \underline{\hspace{2cm}}$

Ответ. ______________________________

Решение.

При движении с постоянной скоростью пройденное расстояние прямо пропорционально времени движения. Это означает, что во сколько раз увеличится время движения, во столько же раз увеличится и пройденное расстояние.

Пусть $x$ км — это расстояние, которое автомобиль проедет за 3 часа. Мы можем составить пропорцию, так как отношение расстояний будет равно отношению времени, затраченного на их прохождение.

Составим соответствие:

120 км соответствует $1\frac{1}{3}$ ч

$x$ км соответствует 3 ч

Пропорция будет иметь вид:

$120 : x = 1\frac{1}{3} : 3$

Для того чтобы решить пропорцию, сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь подставим полученное значение в нашу пропорцию:

$120 : x = \frac{4}{3} : 3$

Запишем пропорцию в виде равенства дробей:

$\frac{120}{x} = \frac{4/3}{3}$

Упростим правую часть равенства:

$\frac{120}{x} = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Теперь найдем $x$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$4 \cdot x = 120 \cdot 9$

$4x = 1080$

$x = \frac{1080}{4}$

$x = 270$

Таким образом, за 3 часа автомобиль проедет 270 км.

Ответ: 270 км.

4. От дома до дачи Петя ехал на велосипеде 30 мин со скоростью 0,2 км/мин. С какой скоростью ехал Петя, если обратная дорога заняла у него 40 мин?

Решение.

При движении на одном участке пути скорость пропорциональна времени движения.

Направление Скорость Время

Дом — дача 0,2 км/ч 30 мин

Дача — дом $x$ км/мин 40 мин

$0,2 : x = 40 : 30, x =$

Ответ.

Решение:

Расстояние от дома до дачи и обратно одинаковое. При движении по одному и тому же маршруту скорость и время находятся в обратно пропорциональной зависимости. Это означает, что во сколько раз увеличивается время в пути, во столько же раз уменьшается скорость, и наоборот.

Обозначим известные и неизвестные величины:
$v_1 = 0,2$ км/мин — скорость по дороге на дачу;
$t_1 = 30$ мин — время по дороге на дачу;
$v_2 = x$ км/мин — искомая скорость на обратном пути;
$t_2 = 40$ мин — время на обратном пути.

Так как зависимость обратная, отношение скоростей будет равно обратному отношению времен:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_1}$

Подставим в формулу известные значения:

$\frac{0,2}{x} = \frac{40}{30}$

Эту пропорцию можно записать как $0,2 : x = 40 : 30$, что соответствует условию в задаче. Для решения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$0,2 \cdot 30 = x \cdot 40$

$6 = 40x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} = 0,15$

Следовательно, скорость Пети на обратном пути составляла 0,15 км/мин.

Проверка:
Можно вычислить расстояние, которое проехал Петя. Оно должно быть одинаковым в обоих направлениях.
Расстояние до дачи: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 0,2 \text{ км/мин} \cdot 30 \text{ мин} = 6 \text{ км}$.
Расстояние домой: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 0,15 \text{ км/мин} \cdot 40 \text{ мин} = 6 \text{ км}$.
Поскольку расстояния равны ($S_1 = S_2$), задача решена верно.

Ответ: 0,15 км/мин.