Страница 35 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

5. Для приготовления солевого раствора взяли 950 г воды и 50 г соли. Какова концентрация получившегося солевого раствора?

Решение.

1) 950 г + 50 г = _______ г — масса всего солевого раствора;

2) $\frac{50}{\text{_______}} \cdot 100 \% = \text{_______}$ — концентрация соли в растворе.

Ответ.

Для решения задачи необходимо сначала найти общую массу получившегося раствора, а затем определить, какую долю от этой массы составляет соль, и выразить эту долю в процентах.

1) Найдем массу всего солевого раствора. Для этого сложим массу воды и массу соли:

$950 \text{ г} + 50 \text{ г} = 1000 \text{ г}$

Масса всего солевого раствора составляет 1000 г.

2) Теперь найдем концентрацию соли в растворе. Концентрация (или массовая доля) вычисляется как отношение массы растворенного вещества (соли) к общей массе раствора, умноженное на 100%.

Концентрация $= \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\%$

Подставляем известные значения в формулу:

Концентрация $= \frac{50 \text{ г}}{1000 \text{ г}} \cdot 100\% = 0.05 \cdot 100\% = 5\%$

Ответ: концентрация получившегося солевого раствора составляет 5%.

1. Обведите цветным карандашом:

а) крайние члены пропорции $\frac{15}{3} = \frac{20}{4}$, $4 : 8 = 20 : 40$;

б) средние члены пропорции $6 : 11 = 18 : 33$, $\frac{150}{20} = \frac{30}{4}$.

а)

Пропорция — это равенство двух отношений. Пропорция может быть записана как $a : b = c : d$ или как $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Члены $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а члены $b$ и $c$ — средними.

Рассмотрим первую пропорцию: $\frac{15}{3} = \frac{20}{4}$. В этой записи крайними членами являются числитель первого отношения (15) и знаменатель второго отношения (4).

Рассмотрим вторую пропорцию: $4 : 8 = 20 : 40$. В этой записи крайними членами являются первый и четвертый члены пропорции, то есть 4 и 40.

Ответ: в пропорции $\frac{15}{3} = \frac{20}{4}$ крайние члены — это 15 и 4. В пропорции $4 : 8 = 20 : 40$ крайние члены — это 4 и 40.

б)

В пропорции, записанной как $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, средними членами являются $b$ и $c$.

Рассмотрим первую пропорцию: $6 : 11 = 18 : 33$. В этой записи средними членами являются второй и третий члены пропорции, то есть 11 и 18.

Рассмотрим вторую пропорцию: $\frac{150}{20} = \frac{30}{4}$. В этой записи средними членами являются знаменатель первого отношения (20) и числитель второго отношения (30).

Ответ: в пропорции $6 : 11 = 18 : 33$ средние члены — это 11 и 18. В пропорции $\frac{150}{20} = \frac{30}{4}$ средние члены — это 20 и 30.

2. Прочитайте пропорцию $28 : 7 = 12 : 3$ двумя способами:

a) 28 так относится к 7, как

б) отношение 28 к 7

Пропорция $28 : 7 = 12 : 3$ — это равенство двух отношений. Её можно прочитать по-разному, завершив предложенные фразы.

а) Фраза «28 так относится к 7, как ...» — это один из стандартных способов чтения пропорции вида $a:b = c:d$. Она читается как «a так относится к b, как c относится к d». В нашей пропорции $a=28$, $b=7$, $c=12$, $d=3$. Таким образом, чтобы завершить фразу, нужно подставить вторую часть пропорции.

Полное высказывание: 28 так относится к 7, как 12 относится к 3.

Ответ: 12 относится к 3.

б) Фраза «отношение 28 к 7 ...» — это другой способ чтения пропорции. Он начинается с первого отношения и указывает на его связь со вторым. Пропорция $28 : 7 = 12 : 3$ означает, что отношение 28 к 7 равно отношению 12 к 3. Проверим равенство:

$28 : 7 = 4$

$12 : 3 = 4$

Поскольку $4 = 4$, отношения действительно равны. Следовательно, фразу нужно дополнить, указав на это равенство.

Полное высказывание: отношение 28 к 7 равно отношению 12 к 3.

Ответ: равно отношению 12 к 3.

3. Составьте четыре пропорции с разными отношениями, используя числа:

а) 2, 3, 6, 9;

$\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$, $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$, $\frac{3}{9} = \frac{\_}{\_}$,

б) 1, 3, 4, 12;

в) 3, 5, 12, 20;

а) Пропорция — это равенство двух отношений, вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$. Для набора чисел 2, 3, 6, 9 найдем пары с одинаковым произведением:
$2 \cdot 9 = 18$
$3 \cdot 6 = 18$
Следовательно, верно равенство $2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$. Из него можно составить четыре пропорции с разными отношениями:
1. $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$ (отношение равно $\frac{2}{3}$)
2. $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$ (отношение равно $\frac{3}{2}$)
3. $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$ (отношение равно $\frac{1}{3}$)
4. $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$ (отношение равно 3)
Ответ: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$; $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$; $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$; $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$.

б) Для набора чисел 1, 3, 4, 12 найдем пары с одинаковым произведением, чтобы составить пропорции:
$1 \cdot 12 = 12$
$3 \cdot 4 = 12$
Из равенства $1 \cdot 12 = 3 \cdot 4$ составим четыре пропорции с разными отношениями:
1. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ (отношение равно $\frac{1}{3}$)
2. $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ (отношение равно $\frac{1}{4}$)
3. $\frac{3}{1} = \frac{12}{4}$ (отношение равно 3)
4. $\frac{4}{1} = \frac{12}{3}$ (отношение равно 4)
Ответ: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$; $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$; $\frac{3}{1} = \frac{12}{4}$; $\frac{4}{1} = \frac{12}{3}$.

в) Для набора чисел 3, 5, 12, 20 найдем пары с одинаковым произведением для составления пропорций:
$3 \cdot 20 = 60$
$5 \cdot 12 = 60$
Из равенства $3 \cdot 20 = 5 \cdot 12$ составим четыре пропорции с разными отношениями:
1. $\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$ (отношение равно $\frac{3}{5}$)
2. $\frac{3}{12} = \frac{5}{20}$ (отношение равно $\frac{1}{4}$)
3. $\frac{5}{3} = \frac{20}{12}$ (отношение равно $\frac{5}{3}$)
4. $\frac{12}{3} = \frac{20}{5}$ (отношение равно 4)
Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$; $\frac{3}{12} = \frac{5}{20}$; $\frac{5}{3} = \frac{20}{12}$; $\frac{12}{3} = \frac{20}{5}$.