Страница 41 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

3. Шестерёнка механических часов изображена в масштабе $5 : 1$. Найдите реальный диаметр шестерёнки, если на чертеже её диаметр равен: а) 4 см; б) 3 см.

Решение.

а) Пусть $x$ см — реальный диаметр шестерёнки,

тогда $5 : 1 = 4 : x$, откуда $5 \cdot x = $ , $x = 0$, см = мм.

Ответ.

б) Пусть $x$ см — реальный диаметр шестерёнки, 3 см = мм. Тогда $5 : 1 = $ , откуда

Ответ.

а) Масштаб 5:1 показывает, что размер объекта на чертеже в 5 раз больше его реального размера.
Пусть $x$ см — это реальный диаметр шестерёнки.
Диаметр на чертеже равен 4 см.
Составим пропорцию, приравнивая отношение размера на чертеже к реальному размеру:
$\frac{\text{размер на чертеже}}{\text{реальный размер}} = \frac{5}{1}$
$\frac{4}{x} = \frac{5}{1}$
По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5 \cdot x = 4 \cdot 1$
$5x = 4$
$x = \frac{4}{5} = 0,8$ см
Теперь переведём сантиметры в миллиметры (1 см = 10 мм):
$0,8 \text{ см} = 0,8 \cdot 10 = 8 \text{ мм}$

Ответ: 8 мм.

б) Аналогично, пусть $x$ см — это реальный диаметр шестерёнки.
Диаметр на чертеже равен 3 см.
Составим пропорцию:
$\frac{3}{x} = \frac{5}{1}$
Решим уравнение:
$5 \cdot x = 3 \cdot 1$
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5} = 0,6$ см
Переведём сантиметры в миллиметры:
$0,6 \text{ см} = 0,6 \cdot 10 = 6 \text{ мм}$

Ответ: 6 мм.

4. Масштаб карты 1 : 100 000. Найдите расстояние на карте между двумя точками, если на местности это расстояние равно: а) 20 км; б) 50 км.

Решение.

а) Пусть x км — расстояние между соответствующими точками на карте. Ему соответствует на местности расстояние 20 км, значит, $1 : 100\ 000 = x : 20$, откуда $1 \cdot 20 = 100\ 000 \cdot x$, $x = $ (км),

0, км = см

Ответ.

б)

а)

Масштаб карты 1:100 000 означает, что 1 единица длины на карте соответствует 100 000 таким же единицам длины на местности. Чтобы найти расстояние на карте, нужно реальное расстояние на местности разделить на знаменатель масштаба.

Для удобства вычислений необходимо привести все величины к единой системе измерения. Переведем расстояние на местности из километров в сантиметры. В 1 километре 1000 метров, а в 1 метре 100 сантиметров. Следовательно:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \cdot 100 \text{ см} = 100 000 \text{ см}$.

Теперь переведем заданное расстояние на местности в сантиметры:

$20 \text{ км} = 20 \cdot 100 000 \text{ см} = 2 000 000 \text{ см}$.

Пусть $x$ — искомое расстояние на карте в сантиметрах. Составим пропорцию на основе масштаба:

$\frac{\text{Расстояние на карте}}{\text{Расстояние на местности}} = \frac{1}{100 000}$

$\frac{x}{2 000 000} = \frac{1}{100 000}$

Выразим $x$:

$x = \frac{2 000 000}{100 000} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.

б)

Аналогично решим задачу для расстояния на местности, равного 50 км. Сначала переведем 50 км в сантиметры:

$50 \text{ км} = 50 \cdot 100 000 \text{ см} = 5 000 000 \text{ см}$.

Пусть $y$ — искомое расстояние на карте в сантиметрах. Составим пропорцию:

$\frac{y}{5 000 000} = \frac{1}{100 000}$

Выразим $y$:

$y = \frac{5 000 000}{100 000} = 50 \text{ см}$.

Ответ: 50 см.