Страница 29 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

4. На рисунке изображена пирамида.

а) Дайте название этой пирамиде:

____________________ пирамида.

б) Запишите: число граней этой пирамиды — ____; число её рёбер — ____; число её вершин — ____.

а) Дайте название этой пирамиде:

Название пирамиды определяется по форме многоугольника, который лежит в её основании. На рисунке в основании пирамиды изображен многоугольник с 5 сторонами и 5 углами — это пятиугольник. Следовательно, данная пирамида называется пятиугольной.

Ответ: пятиугольная пирамида.

б) Запишите: число граней этой пирамиды — ; число её рёбер — ; число её вершин — .

Для определения числа граней, рёбер и вершин n-угольной пирамиды можно использовать общие формулы, где $n$ — это количество сторон многоугольника в основании. В данном случае основанием является пятиугольник, поэтому $n=5$.

• Число граней. У любой пирамиды есть одна грань-основание и боковые грани, число которых равно числу сторон основания. Общее число граней вычисляется по формуле $n + 1$. Для пятиугольной пирамиды: $5 + 1 = 6$ граней (одно пятиугольное основание и пять треугольных боковых граней).
• Число рёбер. Рёбра пирамиды состоят из рёбер основания ($n$ штук) и боковых рёбер, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды (также $n$ штук). Общее число рёбер вычисляется по формуле $2n$. Для пятиугольной пирамиды: $2 \cdot 5 = 10$ рёбер (5 рёбер в основании и 5 боковых рёбер).
• Число вершин. Вершины пирамиды — это вершины её основания ($n$ штук) и одна вершина сверху (апекс). Общее число вершин вычисляется по формуле $n + 1$. Для пятиугольной пирамиды: $5 + 1 = 6$ вершин (5 вершин в основании и 1 верхняя вершина).

Ответ: число граней — 6; число её рёбер — 10; число её вершин — 6.

1. Вычислите:

a) $ \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\right) \cdot 12 = \frac{5}{6} \cdot 12 - \frac{1}{3} \cdot 12 = $

б) $ \left(\frac{7}{10} + \frac{3}{5}\right) \cdot 15 = $

а) Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}) \cdot 12$, воспользуемся распределительным свойством умножения. Умножим каждый член в скобках на 12 и выполним вычитание результатов. Этот способ показан в самом задании.

$(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}) \cdot 12 = \frac{5}{6} \cdot 12 - \frac{1}{3} \cdot 12$

Вычислим первое произведение. Для этого представим 12 как $\frac{12}{1}$ и сократим 12 и 6:

$\frac{5}{6} \cdot 12 = \frac{5 \cdot 12}{6} = 5 \cdot 2 = 10$

Аналогично вычислим второе произведение, сократив 12 и 3:

$\frac{1}{3} \cdot 12 = \frac{1 \cdot 12}{3} = 1 \cdot 4 = 4$

Теперь найдем разность полученных значений:

$10 - 4 = 6$

Ответ: 6

б) Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{7}{10} + \frac{3}{5}) \cdot 15$, сначала выполним действие в скобках. Для сложения дробей их нужно привести к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель для 10 и 5 — это 10. Приведем дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 10, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$

Теперь выполним сложение в скобках:

$\frac{7}{10} + \frac{6}{10} = \frac{7+6}{10} = \frac{13}{10}$

Полученный результат умножим на 15:

$\frac{13}{10} \cdot 15 = \frac{13 \cdot 15}{10}$

Сократим 15 и 10 на их наибольший общий делитель, равный 5:

$\frac{13 \cdot (3 \cdot 5)}{2 \cdot 5} = \frac{13 \cdot 3}{2} = \frac{39}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

$\frac{39}{2} = 19.5$

Ответ: 19.5

2. Найдите произведение:

a) $1\frac{9}{28} \cdot 7 = (1 + \frac{9}{28}) \cdot 7 = $

б) $2\frac{4}{9} \cdot 18 = $

а) Чтобы найти произведение, воспользуемся распределительным свойством умножения, как показано в условии. Смешанное число $1 \frac{9}{28}$ представляется в виде суммы целой и дробной частей $(1 + \frac{9}{28})$.

Умножим эту сумму на 7:

$(1 + \frac{9}{28}) \cdot 7 = 1 \cdot 7 + \frac{9}{28} \cdot 7$

Выполним умножение:

$1 \cdot 7 = 7$

$\frac{9}{28} \cdot 7 = \frac{9 \cdot 7}{28}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{9 \cdot 7}{28} = \frac{9 \cdot 1}{4} = \frac{9}{4}$

Теперь сложим полученные результаты:

$7 + \frac{9}{4}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в смешанное число:

$\frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$

Сложим целые части:

$7 + 2 \frac{1}{4} = 9 \frac{1}{4}$

Ответ: $9 \frac{1}{4}$

б) Чтобы умножить смешанное число $2 \frac{4}{9}$ на натуральное число 18, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби.

$2 \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{18 + 4}{9} = \frac{22}{9}$

Теперь умножим полученную дробь на 18:

$\frac{22}{9} \cdot 18 = \frac{22 \cdot 18}{9}$

Сократим дробь, разделив 18 в числителе и 9 в знаменателе на их общий делитель 9:

$\frac{22 \cdot 18}{9} = 22 \cdot \frac{18}{9} = 22 \cdot 2 = 44$

Ответ: $44$

3. Выполните действия наиболее удобным способом:

a) $6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5} \cdot 6\frac{2}{3} = 6\frac{2}{3} \cdot (\underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}) = \underline{\hspace{4em}}$

б) $3\frac{2}{7} \cdot 3\frac{3}{7} + 3\frac{2}{7} \cdot 3\frac{4}{7} = \underline{\hspace{2em}} \cdot (\underline{\hspace{2em}} + \underline{\hspace{2em}}) = \underline{\hspace{4em}}$

a) $6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5} \cdot 6\frac{2}{3}$

Для решения наиболее удобным способом воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$.

В выражении $6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5} \cdot 6\frac{2}{3}$ общий множитель — это $6\frac{2}{3}$. Вынесем его за скобки. Для наглядности можно поменять местами множители во втором слагаемом, используя переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$): $1\frac{2}{5} \cdot 6\frac{2}{3} = 6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{2}{5}$.

Получаем выражение: $6\frac{2}{3} \cdot (1\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5})$

Теперь выполним действия по шагам:

1. Сначала выполним сложение в скобках:

$1\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5} = (1+1) + (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = 2 + \frac{3+2}{5} = 2 + \frac{5}{5} = 2 + 1 = 3$

2. Теперь умножим общий множитель на результат сложения:

$6\frac{2}{3} \cdot 3$

Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{18 + 2}{3} = \frac{20}{3}$

Выполним умножение:

$\frac{20}{3} \cdot 3 = 20$

Полная запись решения, заполняя пропуски в исходном задании, выглядит так:

$6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5} \cdot 6\frac{2}{3} = 6\frac{2}{3} \cdot (1\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5}) = 6\frac{2}{3} \cdot 3 = 20$

Ответ: 20

б) $3\frac{2}{7} \cdot 3\frac{3}{7} + 3\frac{2}{7} \cdot 3\frac{4}{7}$

В этом примере также применим распределительное свойство умножения. Общий множитель здесь — $3\frac{2}{7}$. Вынесем его за скобки:

$3\frac{2}{7} \cdot (3\frac{3}{7} + 3\frac{4}{7})$

Выполним действия по шагам:

1. Выполним сложение в скобках:

$3\frac{3}{7} + 3\frac{4}{7} = (3+3) + (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) = 6 + \frac{3+4}{7} = 6 + \frac{7}{7} = 6 + 1 = 7$

2. Умножим общий множитель на полученную сумму:

$3\frac{2}{7} \cdot 7$

Переведем смешанное число $3\frac{2}{7}$ в неправильную дробь:

$3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{21+2}{7} = \frac{23}{7}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{23}{7} \cdot 7 = 23$

Полная запись решения, заполняя пропуски, выглядит так:

$3\frac{2}{7} \cdot 3\frac{3}{7} + 3\frac{2}{7} \cdot 3\frac{4}{7} = 3\frac{2}{7} \cdot (3\frac{3}{7} + 3\frac{4}{7}) = 3\frac{2}{7} \cdot 7 = 23$

Ответ: 23