Страница 43 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

3. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$.

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$, необходимо выполнить осевую симметрию для каждой из его вершин ($A$, $B$, $C$) относительно этой прямой. Полученные симметричные точки $A'$, $B'$, $C'$ станут вершинами искомого треугольника.

Алгоритм построения:

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$.
   • Через точку $A$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $b$.
   • Находим точку пересечения этой прямой с прямой $b$ (обозначим её $H_A$).
   • На перпендикулярной прямой откладываем от точки $H_A$ отрезок $H_A A'$, равный по длине отрезку $A H_A$, так, чтобы точка $A'$ лежала с другой стороны от прямой $b$. Точка $A'$ — искомая.
2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$.
   • Аналогично, через точку $B$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $b$.
   • Находим точку пересечения $H_B$.
   • На продолжении отрезка $B H_B$ за прямую $b$ откладываем отрезок $H_B B'$, равный $B H_B$. Точка $B'$ — искомая.
3. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$.
   • Проводим перпендикуляр из точки $C$ к прямой $b$ и находим точку их пересечения $H_C$.
   • На продолжении отрезка $C H_C$ за прямую $b$ откладываем отрезок $H_C C'$, равный $C H_C$. Точка $C'$ — искомая.
4. Построение итогового треугольника.
   • Соединяем последовательно отрезками точки $A'$, $B'$ и $C'$.

Полученный треугольник $A'B'C'$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $b$.

Ответ:

4. Постройте точки, симметричные точкам $A$, $B$, $C$ и $D$ относительно точки $O$, и обозначьте их соответственно $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$.

Точка $X_1$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$ (такое преобразование называется центральной симметрией), если точка $O$ является серединой отрезка $XX_1$. Это означает, что точки $X$, $O$ и $X_1$ лежат на одной прямой, а расстояния от центра до этих точек равны: $XO = OX_1$.

Для построения симметричных точек на клетчатой бумаге удобно считать смещение по горизонтали и вертикали от центра симметрии. Если точка $X$ смещена от точки $O$ на $a$ клеток в одном направлении по горизонтали и на $b$ клеток в одном направлении по вертикали, то симметричная ей точка $X_1$ будет смещена от $O$ на $a$ клеток в противоположном горизонтальном направлении и на $b$ клеток в противоположном вертикальном направлении.

Построение точки $A_1$

Точка $A$ смещена относительно точки $O$ на 3 клетки влево и 2 клетки вверх. Следовательно, симметричная ей точка $A_1$ должна быть смещена от точки $O$ на 3 клетки вправо и 2 клетки вниз.

Ответ: Точка $A_1$ расположена на 3 клетки вправо и 2 клетки вниз от точки $O$.

Построение точки $B_1$

Точка $B$ смещена относительно точки $O$ на 2 клетки влево и 2 клетки вниз. Следовательно, симметричная ей точка $B_1$ должна быть смещена от точки $O$ на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх.

Ответ: Точка $B_1$ расположена на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх от точки $O$.

Построение точки $C_1$

Точка $C$ смещена относительно точки $O$ на 1 клетку вправо и 3 клетки вниз. Следовательно, симметричная ей точка $C_1$ должна быть смещена от точки $O$ на 1 клетку влево и 3 клетки вверх.

Ответ: Точка $C_1$ расположена на 1 клетку влево и 3 клетки вверх от точки $O$.

Построение точки $D_1$

Точка $D$ смещена относительно точки $O$ на 4 клетки вправо и 1 клетку вверх. Следовательно, симметричная ей точка $D_1$ должна быть смещена от точки $O$ на 4 клетки влево и 1 клетку вниз.

Ответ: Точка $D_1$ расположена на 4 клетки влево и 1 клетку вниз от точки $O$.

Итоговое построение всех симметричных точек показано на рисунке ниже.

5. Постройте фигуру, симметричную данной относительно точки O.

Для построения фигуры, симметричной данной относительно точки $O$ (это преобразование называется центральной симметрией), необходимо для каждой ключевой точки исходной фигуры ($A$, $B$, $C$) найти симметричную ей точку ($A'$, $B'$, $C'$) и затем соединить полученные точки в том же порядке.

Построение

1. Чтобы найти точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно центра $O$, нужно провести луч $AO$ и отложить на нем за точкой $O$ отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$. Точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.
2. Аналогично находится точка $B'$, симметричная точке $B$. Проводим луч $BO$ и откладываем на нем отрезок $OB' = BO$.
3. Таким же образом находим точку $C'$, симметричную точке $C$. Проводим луч $CO$ и откладываем на нем отрезок $OC' = CO$.
4. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ в том же порядке, что и в исходной фигуре. Прямолинейные отрезки $AC$ и $AB$ перейдут в равные им отрезки $A'C'$ и $A'B'$, а кривая $BC$ — в симметричную ей кривую $B'C'$.

Полученная фигура $A'B'C'$ является искомой.

Ответ: Построение фигуры, симметричной данной относительно точки $O$, показано на рисунке. Искомая фигура — $A'B'C'$.