Страница 50 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Впишите пропущенные знаки сравнения в определении модуля числа:

а) $|n| = n$, если $n$ _____ 0;

б) $|n| = 0$, если $n$ _____ 0;

в) $|n| = -n$, если $n$ _____ 0.

Это задание проверяет знание определения модуля (абсолютной величины) числа. Модуль числа $n$, обозначаемый как $|n|$, определяется по-разному в зависимости от знака числа $n$.

а)

Модуль положительного числа равен самому этому числу. Положительным считается число, которое строго больше нуля. Следовательно, равенство $|n| = n$ выполняется, когда $n$ больше нуля.

Ответ: $|n| = n$, если $n > 0$.

б)

Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Это уникальное свойство нуля. Таким образом, равенство $|n| = 0$ выполняется только при условии, что $n$ равно нулю.

Ответ: $|n| = 0$, если $n = 0$.

в)

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Если $n$ — отрицательное число (т.е. $n < 0$), то число $-n$ будет положительным. Например, если $n = -5$, то $|-5| = -(-5) = 5$. Следовательно, равенство $|n| = -n$ выполняется, когда $n$ меньше нуля.

Ответ: $|n| = -n$, если $n < 0$.

2. Впишите пропущенные слова:

а) Любое положительное число _________ любого отрицательного числа;

б) Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого _________

в) Любое отрицательное число _________ нуля; любое положительное число _________ нуля.

а)

Все положительные числа на числовой прямой находятся правее нуля, а все отрицательные — левее. Любое число, которое на числовой прямой расположено правее, больше того числа, которое расположено левее. Поэтому любое положительное число всегда будет больше любого отрицательного числа.
Например, $1 > -1000$ или $0.5 > -2$.

Ответ: Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

б)

Сравним два отрицательных числа, например, $-3$ и $-8$. На числовой прямой $-3$ находится правее, чем $-8$, значит $-3 > -8$.
Теперь найдем их модули:
$|-3| = 3$
$|-8| = 8$
Мы видим, что большее число ($-3$) имеет меньший модуль ($3$), так как $3 < 8$. Это правило верно для любых двух отрицательных чисел.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

в)

Это правило основано на определении положительных и отрицательных чисел относительно нуля.
Отрицательные числа по определению — это числа, которые меньше нуля. На числовой прямой они лежат левее точки $0$. Например, $-10 < 0$.
Положительные числа по определению — это числа, которые больше нуля. На числовой прямой они лежат правее точки $0$. Например, $10 > 0$.

Ответ: Любое отрицательное число меньше нуля; любое положительное число больше нуля.

3. Сравните числа:

а) 3,5 $\Box$ -4,7, так как 3,5 $>$ 0, а -4,7 $\Box$ 0;

б) $-2\frac{1}{3} \Box 0,3$, так как ____________________

в) $-1,9 < -0,2$, так как $-1,9 < 0$, $-0,2 < 0$, $|-1,9|$ = __________ ,

$|-0,2|$ = __________ и __________ $>$ __________

г) $-\frac{5}{12} \Box -\frac{7}{18}$, так как $-\frac{5}{12} \Box 0$, $-\frac{7}{18} \Box 0$, $|-\frac{5}{12}| = \frac{5}{12}$,

$|-\frac{7}{18}| = \frac{7}{18}$, НОК (12, 18) = 36,

$\frac{5}{12} = \frac{\Box}{36}, \frac{7}{18} = \frac{\Box}{36}$ и $\frac{\Box}{36} \Box \frac{\Box}{36}$;

д) $-\frac{13}{25} \Box -\frac{7}{10}$, так как ____________________

а) $3,5 > -4,7$, так как $3,5 > 0$, а $-4,7 < 0$;

Ответ: $3,5 > -4,7$.

б) $-2\frac{1}{3} < 0,3$, так как $-2\frac{1}{3}$ — отрицательное число (т.е. $< 0$), а $0,3$ — положительное число (т.е. $> 0$).

Ответ: $-2\frac{1}{3} < 0,3$.

в) $-1,9 < -0,2$, так как $-1,9 < 0$, $-0,2 < 0$, $|-1,9| = 1,9$, $|-0,2| = 0,2$ и $1,9 > 0,2$.

Ответ: $-1,9 < -0,2$.

г) $-\frac{5}{12} < -\frac{7}{18}$, так как $-\frac{5}{12} < 0$, $-\frac{7}{18} < 0$, $|-\frac{5}{12}| = \frac{5}{12}$, $|-\frac{7}{18}| = \frac{7}{18}$, НОК (12, 18) = 36, $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$, $\frac{7}{18} = \frac{14}{36}$ и $\frac{15}{36} > \frac{14}{36}$;

Ответ: $-\frac{5}{12} < -\frac{7}{18}$.

д) $-\frac{13}{25} > -\frac{7}{10}$, так как оба числа отрицательные, а из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним их модули:

$|-\frac{13}{25}| = \frac{13}{25}$ и $|-\frac{7}{10}| = \frac{7}{10}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 50:

$\frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{26}{50}$

$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{35}{50}$

Поскольку $\frac{26}{50} < \frac{35}{50}$, то $|-\frac{13}{25}| < |-\frac{7}{10}|$, и, следовательно, $-\frac{13}{25} > -\frac{7}{10}$.

Ответ: $-\frac{13}{25} > -\frac{7}{10}$.