Номер 1.135, страница 34, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 1. Вычисления и построения. 4. Виды треугольников - номер 1.135, страница 34.

Условие.

1.135. Используя линейку и транспортир, постройте треугольник АВС, у которого:

а) угол А равен 60º, а стороны АВ и АС равны по 4 см;

б) угол А прямой, а стороны АВ и АС равны по 5 см;

в) угол А равен 120º, а стороны АВ и АС равны по 4 см.

Какой треугольник построен? Измерьте транспортиром его углы В и С.

Какое можно сделать предположение об углах при основании равнобедренного треугольника?

Решение 1.

1.135

а) 1) строим $\angle$А = 60°

2) на одной стороне угла от точки А откладываем отрезок АВ = 4 см

3) на другой стороне угла от точки А откладываем отрезок АС = 4 см

4) соединяем точки В и С, получим треугольник АВС

Треугольник АВС – равнобедренный.

$\angle$B = 60°, $\angle$С = 60°

б) 1) строим $\angle$ А = 90°

2) на одной стороне угла от точки А откладываем отрезок АВ = 5 см

3) на другой стороне угла от точки А откладываем отрезок АС = 5 см

4) соединяем точки В и С, получим треугольник АВС

Треугольник АВС – равнобедренный прямоугольный.

$\angle$B = 45°, $\angle$С = 45°

в) 1) строим $\angle$ А = 120°

2) на одной стороне угла от точки А откладываем отрезок АВ = 4 см

3) на другой стороне угла от точки А откладываем отрезок АС = 4 см

4) соединяем точки В и С, получим треугольник АВС

Треугольник АВС – равнобедренный тупоугольный.

$\angle$B = 30°, $\angle$ С = 30°

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Решение 2.

а)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$ см, $AC = 4$ см) необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 4 см.
2. С помощью транспортира отложить от луча $AB$ угол с вершиной в точке $A$, равный $60^\circ$.
3. На построенном луче отложить отрезок $AC$ длиной 4 см.
4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

В полученном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны, следовательно, треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle B = \angle C$.

$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Так как $\angle B = \angle C$, то $2 \cdot \angle B = 120^\circ$, откуда $\angle B = \angle C = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Измерив углы $B$ и $C$ транспортиром, мы убедимся, что они равны $60^\circ$.

Ответ: Построен равносторонний треугольник. Углы $B$ и $C$ равны $60^\circ$.

б)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($\angle A$ — прямой, то есть $90^\circ$, $AB = 5$ см, $AC = 5$ см) необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 5 см.
2. С помощью транспортира построить угол $A$, равный $90^\circ$, приложив его к точке $A$ на отрезке $AB$.
3. На второй стороне угла отложить отрезок $AC$ длиной 5 см.
4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

В полученном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны, следовательно, он является равнобедренным. Так как угол $A$ — прямой, это прямоугольный равнобедренный треугольник. Углы при основании $BC$ равны: $\angle B = \angle C$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:

$\angle B + \angle C = 90^\circ$

Так как $\angle B = \angle C$, то $2 \cdot \angle B = 90^\circ$, откуда $\angle B = \angle C = 45^\circ$.

Измерение углов $B$ и $C$ транспортиром покажет, что они равны $45^\circ$.

Ответ: Построен прямоугольный равнобедренный треугольник. Углы $B$ и $C$ равны $45^\circ$.

в)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным условиям ($\angle A = 120^\circ$, $AB = 4$ см, $AC = 4$ см) необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 4 см.
2. С помощью транспортира отложить от луча $AB$ угол с вершиной в точке $A$, равный $120^\circ$.
3. На построенном луче отложить отрезок $AC$ длиной 4 см.
4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

В полученном треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны, следовательно, он является равнобедренным. Так как $\angle A = 120^\circ > 90^\circ$, это тупоугольный равнобедренный треугольник. Углы при основании $BC$ равны: $\angle B = \angle C$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Так как $\angle B = \angle C$, то $2 \cdot \angle B = 60^\circ$, откуда $\angle B = \angle C = 30^\circ$.

Измерение углов $B$ и $C$ транспортиром подтвердит, что они равны $30^\circ$.

Ответ: Построен тупоугольный равнобедренный треугольник. Углы $B$ и $C$ равны $30^\circ$.

---

Какое можно сделать предположение об углах при основании равнобедренного треугольника?

Во всех трех построенных треугольниках ($а, б, в$) две стороны ($AB$ и $AC$) были равны. Такие треугольники называются равнобедренными, а сторона $BC$ — их основанием. Во всех случаях углы при основании ($ \angle B$ и $\angle C$) оказались равными:

• в случае а) $\angle B = \angle C = 60^\circ$;
• в случае б) $\angle B = \angle C = 45^\circ$;
• в случае в) $\angle B = \angle C = 30^\circ$.

Это наблюдение позволяет сделать следующее предположение, которое является свойством равнобедренного треугольника.

Ответ: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Решение 3.

Решение 4.