Номер 1.139, страница 34, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 1. Вычисления и построения. 4. Виды треугольников - номер 1.139, страница 34.

Условие.

1.139. Всегда ли равны треугольники, у которых равны периметры?

Решение 1.

1.139

Не всегда. Например, треугольники со сторонами:
3, 4 и 5 см и 4 см, 4 см и 4 см имеют равные периметры, но они не равны.

Решение 2.

Нет, треугольники, у которых равны периметры, не всегда равны между собой. Равенство треугольников (конгруэнтность) означает, что у них соответственно равны все три стороны и все три угла. Равенство периметров означает лишь равенство суммы длин сторон.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — два разных треугольника с одинаковым периметром.

Пример:
Рассмотрим два треугольника.

1. Треугольник 1: Равносторонний треугольник со сторонами $a_1 = 4$ см, $b_1 = 4$ см, $c_1 = 4$ см.
Его периметр $P_1$ равен сумме длин его сторон:
$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 4 + 4 + 4 = 12$ см.
Все углы этого треугольника равны $60^\circ$.

2. Треугольник 2: Прямоугольный треугольник со сторонами (катетами и гипотенузой) $a_2 = 3$ см, $b_2 = 4$ см, $c_2 = 5$ см. (Он существует, так как удовлетворяет теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$).
Его периметр $P_2$ также равен сумме длин его сторон:
$P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 3 + 4 + 5 = 12$ см.
Углы этого треугольника составляют $90^\circ$ и примерно $37^\circ$ и $53^\circ$.

Сравнение:
Периметры обоих треугольников равны: $P_1 = P_2 = 12$ см.
Однако сами треугольники не равны. У них разные длины сторон (набор сторон {4, 4, 4} не совпадает с набором {3, 4, 5}) и разные углы. Согласно признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), для равенства треугольников необходимо, чтобы все три стороны одного треугольника были соответственно равны трем сторонам другого. В нашем случае это условие не выполняется.

Таким образом, равенство периметров не является достаточным условием для равенства (конгруэнтности) треугольников.

Ответ: Нет, не всегда.

Решение 3.

Решение 4.