Номер 2.42, страница 48, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6. Разложение числа на простые множители. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 2.42, страница 48.

2.42. Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы число делилось на 12:

а) 765?; б) 3?68; в) 45?8; г) ?260?

2.42

Число делится на 12, если оно делится на 3 и на 4, т.к. 12 = 3 • 4.

а) 7656

б) 3168, 3468, 3768

в) 4548

г) 1260, 4260, 7260

Для того чтобы число делилось на 12, оно должно одновременно делиться на 3 и на 4, так как $12 = 3 \times 4$ и числа 3 и 4 взаимно просты.

Вспомним признаки делимости:

• Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
• Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.

а) 765?
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $765x$.
1. Проверяем делимость на 4. Число $5x$ должно делиться на 4. Перебираем возможные значения $x$: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. На 4 делятся только 52 и 56. Значит, $x$ может быть равен 2 или 6.
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $7+6+5+x = 18+x$ должна делиться на 3. Так как 18 делится на 3, то и $x$ должен делиться на 3.
3. Совмещаем условия. Из кандидатов {2, 6} на 3 делится только 6.
Ответ: 6.

б) 3?68
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $3x68$.
1. Проверяем делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, – 68. Так как $68 \div 4 = 17$, число 68 делится на 4. Это условие выполняется при любой цифре $x$.
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $3+x+6+8 = 17+x$ должна делиться на 3. Перебираем возможные значения $x$:

• $x=1 \implies 17+1=18$ (делится на 3)
• $x=4 \implies 17+4=21$ (делится на 3)
• $x=7 \implies 17+7=24$ (делится на 3)

Другие цифры от 0 до 9 не подходят.
Ответ: 1, 4, 7.

в) 45?8
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $45x8$.
1. Проверяем делимость на 4. Число $x8$ должно делиться на 4. Это возможно, если $x$ равен 0, 2, 4, 6, 8 (числа 08, 28, 48, 68, 88).
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $4+5+x+8 = 17+x$ должна делиться на 3. Как мы выяснили в пункте б), это возможно при $x$, равном 1, 4, 7.
3. Совмещаем условия. Из множества {0, 2, 4, 6, 8} и множества {1, 4, 7} общим является только число 4.
Ответ: 4.

г) ?260
Пусть неизвестная цифра – это $x$. Число имеет вид $x260$. Так как это первая цифра числа, $x \ne 0$.
1. Проверяем делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, – 60. Так как $60 \div 4 = 15$, число 60 делится на 4. Это условие выполняется при любой цифре $x$.
2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $x+2+6+0 = 8+x$ должна делиться на 3. Перебираем возможные значения $x$ от 1 до 9:

• $x=1 \implies 8+1=9$ (делится на 3)
• $x=4 \implies 8+4=12$ (делится на 3)
• $x=7 \implies 8+7=15$ (делится на 3)

Другие цифры от 1 до 9 не подходят.
Ответ: 1, 4, 7.