Номер 2.84, страница 53, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа - номер 2.84, страница 53.

Условие.

2.84 Развивай мышление. Представьте в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться) числа:

а) нечётные, большие 5, но меньшие 20;

б) чётные, большие 2, но меньшие 20.

Сформулируйте предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.

Образец:

7 = 2 + 2 + 3
4 = 2 + 2

Решение 1.

2.84

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} 7 = 2 + 5 \\ 9 = 2 + 7 \\ 11 = 2 + 2 + 7 \\ 13 = 2 + 11 \\ 15 = 2 + 13 \\ 17 = 2 + 2 + 13 \\ 19 = 2 + 17 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }4 = 2 + 2 \\ 6 = 3 + 3 \\ 8 = 3 + 5 \\ 10 = 3 + 7 \\ 12 = 5 + 7 \\ 14 = 3 + 11 \\ 16 = 3 + 13 \\ 18 = 5 + 13 \end{gathered}$$

Нечетное число, представленное в виде суммы простых чисел, состоит из чисел, одно из которых нечетное простое число, а остальные – четные простые числа, т.е. число 2.

Четное число, представленное в виде суммы простых чисел, состоит из нечетных простых чисел, кроме числа 4, которое состоит из двух четных простых чисел 2.

Решение 2.

Для решения задачи необходимо представить заданные числа в виде суммы простых чисел, причём количество слагаемых в этой сумме должно быть минимально возможным. Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся без остатка только на 1 и на самих себя (например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Число 2 — единственное чётное простое число.

а) нечётные, большие 5, но меньшие 20;

Рассмотрим нечётные числа в диапазоне от 5 до 20: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

• Число 7: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $7 = 7$.

• Число 9: Это составное число. Проверим, можно ли его представить в виде суммы двух простых. Сумма двух нечётных простых чисел всегда чётная, поэтому одно из слагаемых должно быть 2. $9 - 2 = 7$. Число 7 — простое, значит, $9 = 2 + 7$. Это сумма из двух слагаемых, что является минимумом для составного числа.

• Число 11: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $11 = 11$.

• Число 13: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $13 = 13$.

• Число 15: Это составное число. Проверим сумму двух простых: $15 - 2 = 13$. Число 13 — простое, значит, $15 = 2 + 13$. Два слагаемых — это минимум.

• Число 17: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $17 = 17$.

• Число 19: Это простое число. Наименьшее количество слагаемых — одно. $19 = 19$.

Ответ: $7=7$; $9=2+7$; $11=11$; $13=13$; $15=2+13$; $17=17$; $19=19$.

б) чётные, большие 2, но меньшие 20.

Рассмотрим чётные числа в диапазоне от 2 до 20: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Все эти числа являются составными. Минимальное число слагаемых для них не может быть одним, значит, проверим, можно ли их представить в виде суммы двух простых чисел.

• $4 = 2 + 2$

• $6 = 3 + 3$

• $8 = 3 + 5$

• $10 = 3 + 7$ (или $5 + 5$)

• $12 = 5 + 7$

• $14 = 3 + 11$ (или $7 + 7$)

• $16 = 3 + 13$ (или $5 + 11$)

• $18 = 5 + 13$ (или $7 + 11$)

Все указанные чётные числа можно представить в виде суммы двух простых слагаемых, что является наименьшим возможным количеством.

Ответ: $4=2+2$; $6=3+3$; $8=3+5$; $10=5+5$; $12=5+7$; $14=7+7$; $16=5+11$; $18=7+11$.

Сформулируйте предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.

Анализируя полученные результаты, можно выдвинуть два предположения, которые в математике известны как гипотезы Гольдбаха. Эти гипотезы до сих пор не доказаны (первая) или были доказаны совсем недавно (вторая), и являются одними из самых известных открытых проблем в теории чисел.

1. Сильная (или бинарная) гипотеза Гольдбаха: Любое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Это предположение подтверждается нашими результатами для всех чётных чисел из пункта б).

2. Слабая (или тернарная) гипотеза Гольдбаха: Любое нечётное число, большее пяти, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Это предположение было полностью доказано в 2013 году. Пример из условия ($7 = 2 + 2 + 3$) иллюстрирует эту гипотезу. Хотя для некоторых нечётных чисел (например, 7) наименьшее число слагаемых — одно, их всё равно можно представить и как сумму трёх простых.

Решение 3.

Решение 4.