Номер 2.86, страница 54, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. 7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа - номер 2.86, страница 54.

Условие.

2.86. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 975 и 750
б) 572 и 440;.
в) 80, 140 и 56;
г) 170, 306 и 255.

Решение 1.

2.86

а)

$$\begin{gathered} 975 = \underline{3} ·\underline{ 5} · \underline{5 }· 13 \\ 750 =2 · \underline{3} ·\underline{ 5} · \underline{5 }· 5 \\ \mathrm{НОД} (975; 750) = 3 · 5 · 5 = 75 \end{gathered}$$

б)

$$\begin{gathered} 572 = \underline{2} ·\underline{ 2} · \underline{11} · 13 \\ 440 = \underline{2} ·\underline{ 2} · 2 · 5 · \underline{11} \\ \mathrm{НОД} (572; 440) = 2 · 2 · 11 = 44 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 80 = \underline{2} · \underline{2} · 2 · 2 · 5 \\ 140 = \underline{2} · \underline{2} · 5 · 7 \\ 56 =\underline{2} · \underline{2} ·2 · 7 \\ \mathrm{НОД} (80; 140; 56) = 2 · 2 =4 \end{gathered}$$

г)

$$\begin{gathered} 170 = 2 · 5 · \underline{17} \\ 306 = 2 · 3 · 3 · \underline{17} \\ 255 = 3 · 5 · \underline{17} \\ \mathrm{НОД} (170; 306; 255) = 17 \end{gathered}$$

Решение 2.

а) 975 и 750;
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложим их на простые множители. Это основной метод для нахождения НОД.
Разложим число 975 на простые множители:
$975 = 5 \cdot 195 = 5 \cdot 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5^2 \cdot 13$
Разложим число 750 на простые множители:
$750 = 10 \cdot 75 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 25) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 5^3$
Теперь найдем произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Общими множителями являются $3$ и $5$. Наименьшая степень для $3$ - это $3^1$, а для $5$ - это $5^2$.
НОД(975, 750) = $3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
Ответ: 75.

б) 572 и 440;
Разложим данные числа на простые множители.
Разложение числа 572:
$572 = 2 \cdot 286 = 2 \cdot 2 \cdot 143 = 2^2 \cdot 11 \cdot 13$
Разложение числа 440:
$440 = 10 \cdot 44 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 11) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 11 = 2^3 \cdot 5 \cdot 11$
Общими простыми множителями являются $2$ и $11$. Возьмем их в наименьших степенях, встречающихся в разложениях: $2^2$ и $11^1$.
НОД(572, 440) = $2^2 \cdot 11 = 4 \cdot 11 = 44$.
Ответ: 44.

в) 80, 140 и 56;
Разложим на простые множители все три числа.
Разложение числа 80:
$80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$
Разложение числа 140:
$140 = 14 \cdot 10 = (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$
Разложение числа 56:
$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
Единственным общим простым множителем для всех трех чисел является $2$. Наименьшая степень, в которой множитель $2$ входит во все три разложения, это $2^2$ (из разложения числа 140).
НОД(80, 140, 56) = $2^2 = 4$.
Ответ: 4.

г) 170, 306 и 255.
Разложим на простые множители все три числа.
Разложение числа 170:
$170 = 10 \cdot 17 = 2 \cdot 5 \cdot 17$
Разложение числа 306:
$306 = 2 \cdot 153 = 2 \cdot 9 \cdot 17 = 2 \cdot 3^2 \cdot 17$
Разложение числа 255:
$255 = 5 \cdot 51 = 5 \cdot 3 \cdot 17$
Чтобы найти НОД, нужно найти общие простые множители. Сравнив разложения, видим, что единственным общим множителем для всех трех чисел является $17$.
НОД(170, 306, 255) = $17$.
Ответ: 17.

Решение 3.

Решение 4.