Номер 13, страница 118, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Применяем математику. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - номер 13, страница 118.

13. Известному писателю Л. Н. Толстому очень нравилась следующая задача.

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

13.

Пусть х – косцов в артели, у – площадь, которую 1 косец скашивает за один день.

$\mathbf{1}\mathbf{)} х · \frac{1}{2} · у = \frac{1}{2}ху$ (большой луг)- за 1 половину дня вся артёль косцов;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{1}{2} х · \frac{1}{2} у = \frac{1}{4} ху$ (большой луг) – во второй половине дня половина косцов;

Так как большой луг к вечеру докосила до конца, то его площадь составляет:

${\frac{1}{2}}^{\overline{)·2}}ху + \frac{1}{4} ху = \frac{2}{4}ху + \frac{1}{4}ху = \frac{3}{4}ху$

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{1}{2} х · \frac{1}{2} у = \frac{1}{4} ху$ (малый луг)- другая половина косцов за
вторую половину дня;

Так как малый луг был докошен полностью одним косцом за один день работы, то площадь малого луга составляет:

$\frac{1}{4} ху + у$

Так как большой луг вдвое больше малого, то получим:

$$\begin{gathered} \frac{3}{4} ху = 2 · \left(\frac{1}{4 }ху +у\right); \\ \frac{3}{4} ху = 2 ·\frac{1}{4}ху + 2у; \\ \frac{3}{4} ху = \frac{2}{4}ху + 2у; \\ \frac{3}{4} ху - \frac{2}{4}ху = 2у; \\ \frac{1}{4} ху = 2у; \\ х = 2у : \frac{1}{4} у; \\ х = 2\cancel{у} · \frac{4}{\cancel{у}}; \end{gathered}$$

$х = 8$ – косцов.

Ответ: 8 косцов.

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнения, описывающие выполненную работу.

Пусть:
$n$ — искомое количество косцов в артели;
$p$ — производительность одного косца, то есть площадь, которую один косец скашивает за один полный рабочий день. Для удобства примем $p = 1$ (условная единица площади в день);
$S_б$ — площадь большого луга;
$S_м$ — площадь малого луга.

Согласно условию, площадь большого луга вдвое больше площади малого: $S_б = 2 \cdot S_м$. Рабочий день состоит из двух равных частей (утро и вечер), по 0.5 дня каждая.

Распишем работу артели по этапам.

1. Работа в первую половину дня

Вся артель из $n$ косцов работала на большом лугу. За 0.5 дня они скосили часть площади, равную:

$W_{б1} = n \cdot p \cdot 0.5 \text{ дня} = n \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.5n$

2. Работа во вторую половину дня

Артель разделилась пополам. Следовательно, в каждой группе было по $n/2$ косцов.
Первая половина артели ($n/2$ косцов) осталась на большом лугу и докосила его до конца. За 0.5 дня они выполнили работу:
$W_{б2} = \frac{n}{2} \cdot p \cdot 0.5 \text{ дня} = \frac{n}{2} \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.25n$
Вторая половина артели ($n/2$ косцов) косила малый луг. За 0.5 дня они выполнили работу:
$W_м = \frac{n}{2} \cdot p \cdot 0.5 \text{ дня} = \frac{n}{2} \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.25n$

3. Определение площадей лугов

Большой луг был полностью скошен, значит, его площадь равна сумме работ, выполненных на нем в первую и вторую половины дня:

$S_б = W_{б1} + W_{б2} = 0.5n + 0.25n = 0.75n$

Так как большой луг вдвое больше малого, то площадь малого луга равна:

$S_м = \frac{S_б}{2} = \frac{0.75n}{2} = 0.375n$

4. Нахождение оставшейся площади на малом лугу

К вечеру на малом лугу была скошена площадь $W_м = 0.25n$. Оставшаяся нескошенная часть равна разности общей площади малого луга и скошенной части:

$S_{ост} = S_м - W_м = 0.375n - 0.25n = 0.125n$

5. Составление и решение уравнения

По условию, оставшийся на малом лугу участок равен тому, что может скосить один косец за один полный день. В наших единицах это работа, равная $1 \text{ косец} \cdot p \cdot 1 \text{ день} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Следовательно, мы можем приравнять вычисленную оставшуюся площадь к 1:

$0.125n = 1$

Теперь найдем $n$:

$n = \frac{1}{0.125} = \frac{1}{1/8} = 8$

Таким образом, в артели было 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.