Номер 4.322, страница 59, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Параграф 4. Действия с рациональными числами. 34. Действие деления - номер 4.322, страница 59.

Условие.

4.322. Значение какого из выражений (–а)², –а², а³ будет при любых значениях а положительным; отрицательным?

Решение 1.

4.322

(–а)² > 0 при любых а ≠ 0

–а² < 0 при любых а ≠ 0 и а >0

а³ > 0 при любых а > 0

Решение 2.

Для ответа на вопрос проанализируем каждое из предложенных выражений, рассматривая все возможные значения переменной $a$: положительные ($a > 0$), отрицательные ($a < 0$) и ноль ($a = 0$).

положительным:

Проверим, какое из выражений всегда принимает положительные или равные нулю значения.

• Выражение $(-a)^2$. По свойству степени, минус в скобках при возведении в четную степень исчезает: $(-a)^2 = a^2$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $a^2 \geq 0$ при любом $a$.
  Например, если $a=3$, то $(-3)^2 = 9 > 0$.
  Если $a=-3$, то $(-(-3))^2 = 3^2 = 9 > 0$.
  Если $a=0$, то $(-0)^2 = 0$.
  Следовательно, это выражение всегда неотрицательное.

• Выражение $-a^2$. Здесь сначала вычисляется квадрат $a^2$, а затем к результату применяется знак минус. Так как $a^2 \geq 0$, то $-a^2 \leq 0$. Это выражение всегда неположительное, значит, оно не подходит.

• Выражение $a^3$. Знак этого выражения зависит от знака $a$. Если $a$ — положительное число, то $a^3$ будет положительным. Если $a$ — отрицательное число, то $a^3$ будет отрицательным (например, $(-2)^3 = -8$). Значит, это выражение не является положительным при любых $a$.

Таким образом, единственное выражение, которое принимает неотрицательные (положительные или равные нулю) значения при любых $a$, — это $(-a)^2$.

Ответ: значение выражения $(-a)^2$ будет положительным (точнее, неотрицательным) при любых значениях $a$.

отрицательным:

Проверим, какое из выражений всегда принимает отрицательные или равные нулю значения.

• Выражение $(-a)^2$. Как мы уже выяснили, это выражение всегда неотрицательно ($(-a)^2 \geq 0$), поэтому оно не может быть всегда отрицательным.

• Выражение $-a^2$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \geq 0$), то выражение $-a^2$ всегда будет неположительным, то есть $-a^2 \leq 0$.
  Например, если $a=3$, то $-3^2 = -9 < 0$.
  Если $a=-3$, то $-(-3)^2 = -9 < 0$.
  Если $a=0$, то $-0^2 = 0$.
  Следовательно, это выражение всегда неположительное.

• Выражение $a^3$. Как было показано ранее, это выражение может быть положительным (например, $2^3 = 8$), поэтому оно не является отрицательным при любых $a$.

Таким образом, единственное выражение, которое принимает неположительные (отрицательные или равные нулю) значения при любых $a$, — это $-a^2$.

Ответ: значение выражения $-a^2$ будет отрицательным (точнее, неположительным) при любых значениях $a$.

Решение 3.

Решение 4.