Номер 5.21, страница 80, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

37. Раскрытие скобок. § 5. Решение уравнений. ч. 2 - номер 5.21, страница 80.

5.21. Решите с помощью графа задачу: «У Коли, Пети, Миши и Володи мячи разных цветов (красный, синий, белый, голубой). На вопрос «У кого какой мяч?» три мальчика ответили: 1) «У Миши синий мяч, у Володи белый»; 2) «У Миши красный мяч, у Пети синий»; 3) «У Коли синий мяч, у Володи голубой». В каждом ответе только одна часть правда. Какого цвета мяч у каждого мальчика?»

5.21

	синий	белый	голубой	красный
Коля	+
Петя			+
Миша				+
Володя		+

Ответ: у Коли синий шар, у Пети голубой, у Миши красный, у Володи белый

Для решения задачи воспользуемся методом графов. Создадим двудольный граф, в котором одна доля вершин — это имена мальчиков (Коля, Петя, Миша, Володя), а вторая — цвета мячей (красный, синий, белый, голубой). Ребро в графе будет соединять мальчика с цветом его мяча. Наша задача — найти единственно верное соответствие, учитывая, что в каждом из трех утверждений одна часть является истинной (И), а другая — ложной (Л).

1) «У Миши синий мяч, у Володи белый»

Это утверждение состоит из двух частей: (а) «У Миши синий мяч» и (б) «У Володи белый». По условию, одна из них истинна, а другая ложна. Разберем оба варианта:

• Вариант 1: (а) - Истина, (б) - Ложь. Это означает, что у Миши синий мяч. Если это так, то рассмотрим утверждение 2) «У Миши красный мяч, у Пети синий». Часть «У Миши красный мяч» в этом случае будет ложной (так как у него синий). Следовательно, часть «у Пети синий» должна быть истинной. Получаем, что синий мяч есть и у Миши, и у Пети, что противоречит условию задачи о разных цветах мячей. Таким образом, этот вариант невозможен.
• Вариант 2: (а) - Ложь, (б) - Истина. Это означает, что у Миши не синий мяч, а у Володи белый мяч. Этот вариант не приводит к противоречию.

Из анализа делаем вывод: у Володи белый мяч. В нашем графе проводим окончательное ребро между вершинами «Володя» и «белый». Также мы теперь знаем, что утверждение «У Миши синий мяч» ложно, поэтому связь между «Миша» и «синий» невозможна.

3) «У Коли синий мяч, у Володи голубой»

Теперь рассмотрим третье утверждение, состоящее из частей (а) «У Коли синий мяч» и (б) «У Володи голубой». Мы уже установили, что у Володи белый мяч. Следовательно, часть (б) «У Володи голубой» является ложью. По условию, в каждом утверждении есть истинная часть, значит, часть (а) «У Коли синий мяч» должна быть истинной.

Таким образом, у Коли синий мяч. В графе проводим ребро между вершинами «Коля» и «синий».

2) «У Миши красный мяч, у Пети синий»

Обратимся ко второму утверждению: (а) «У Миши красный мяч» и (б) «у Пети синий». Из предыдущего шага мы знаем, что синий мяч у Коли. Поэтому часть (б) «у Пети синий» — ложь. Следовательно, часть (а) «У Миши красный мяч» должна быть истиной.

Делаем вывод: у Миши красный мяч. Проводим в графе ребро между вершинами «Миша» и «красный».

Подведем итоги. На основе анализа утверждений мы однозначно установили следующие пары:

• Володя — белый мяч
• Коля — синий мяч
• Миша — красный мяч

Остался только один мальчик, Петя, и один свободный цвет — голубой. Методом исключения заключаем, что у Пети голубой мяч.

Ответ: У Коли — синий мяч, у Пети — голубой, у Миши — красный, у Володи — белый.