Номер 83, страница 135, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Задания - номер 83, страница 135.

Условие.

П.83. Найдите все делители числа 84 и числа 180.

Решение 1.

П.83

делители числа 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

делители числа 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

Решение 2.

Чтобы найти все натуральные делители числа, необходимо разложить это число на простые множители. Любой делитель этого числа будет представлять собой произведение этих простых множителей в некоторых степенях (от нулевой до той, что в разложении).

Делители числа 84

1. Начнем с разложения числа 84 на простые множители:

$84 \mid 2$
$42 \mid 2$
$21 \mid 3$
$7 \mid 7$
$1$

Таким образом, каноническое разложение числа 84 имеет вид: $84 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1$.

2. Любой делитель числа 84 будет иметь вид $2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$, где показатель степени $a$ может принимать значения 0, 1, 2; показатель $b$ — 0, 1; показатель $c$ — 0, 1.

3. Перечислим все возможные комбинации произведений, чтобы найти все делители:

• $2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
• $2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^0 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
• $2^2 \cdot 3^0 \cdot 7^0 = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$
• $2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^0 = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$
• $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^0 = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$
• $2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^0 = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$
• $2^0 \cdot 3^0 \cdot 7^1 = 1 \cdot 1 \cdot 7 = 7$
• $2^1 \cdot 3^0 \cdot 7^1 = 2 \cdot 1 \cdot 7 = 14$
• $2^2 \cdot 3^0 \cdot 7^1 = 4 \cdot 1 \cdot 7 = 28$
• $2^0 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 1 \cdot 3 \cdot 7 = 21$
• $2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$
• $2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$

Расположим полученные делители в порядке возрастания.

Ответ: Делителями числа 84 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Делители числа 180

1. Разложим число 180 на простые множители:

$180 \mid 2$
$90 \mid 2$
$45 \mid 3$
$15 \mid 3$
$5 \mid 5$
$1$

Каноническое разложение числа 180: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

2. Любой делитель числа 180 будет иметь вид $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, где $a \in \{0, 1, 2\}$, $b \in \{0, 1, 2\}$, $c \in \{0, 1\}$.

3. Найдем все делители. Для удобства, сначала найдем все делители числа $2^2 \cdot 3^2 = 36$, а затем умножим их на множители, соответствующие $5^c$ (то есть на $5^0=1$ и $5^1=5$).

Делители числа 36 ($2^a \cdot 3^b$):

• $2^0 \cdot 3^0 = 1$
• $2^1 \cdot 3^0 = 2$
• $2^2 \cdot 3^0 = 4$
• $2^0 \cdot 3^1 = 3$
• $2^1 \cdot 3^1 = 6$
• $2^2 \cdot 3^1 = 12$
• $2^0 \cdot 3^2 = 9$
• $2^1 \cdot 3^2 = 18$
• $2^2 \cdot 3^2 = 36$

Получаем ряд делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Это делители числа 180, для которых $c=0$.

Теперь найдем делители, для которых $c=1$. Для этого умножим каждый из найденных выше делителей на 5:

$1 \cdot 5=5, \quad 2 \cdot 5=10, \quad 3 \cdot 5=15, \quad 4 \cdot 5=20, \quad 6 \cdot 5=30, \quad 9 \cdot 5=45, \quad 12 \cdot 5=60, \quad 18 \cdot 5=90, \quad 36 \cdot 5=180$.

4. Объединим оба списка делителей и запишем их в порядке возрастания.

Ответ: Делителями числа 180 являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Решение 3.

Решение 4.