Номер 85, страница 135, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 2. Вопросы и задачи на повторение. Задания - номер 85, страница 135.

Условие.

П.85. Имеют ли центр симметрии:
а) отрезок;
б) луч;
в) прямая;
г) разносторонний треугольник;
д) равносторонний треугольник;
е) квадрат;
ж) прямоугольник;
з) окружность;
и) круг?

Если фигуры имеют центр симметрии, изобразите их в тетради.

Решение 1.

П.85

а) отрезок имеет центр симметрии

б) луч не имеет центр симметрии

в) прямая имеет множество центров симметрии

г) разносторонний треугольник не имеет центра симметрии

д) равносторонний треугольник не имеет центр симметрии

е) квадрат имеет центр симметрии

ж) прямоугольник имеет центр симметрии

з) окружность имеет центр симметрии

и) круг имеет центр симметрии

Решение 2.

а) отрезок;

Да, отрезок имеет центр симметрии. Центром симметрии отрезка является его середина. Если обозначить концы отрезка как точки $A$ и $B$, а его середину как точку $O$, то для любой точки $M$ на отрезке найдется симметричная ей относительно точки $O$ точка $M'$, которая также будет лежать на этом отрезке. Точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. В частности, точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $O$.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — середина отрезка.

б) луч;

Нет, луч не имеет центра симметрии. Луч имеет начальную точку и простирается бесконечно в одном направлении. Если бы у луча был центр симметрии $O$, то для его начальной точки $A$ должна была бы существовать симметричная точка $A'$, которая также принадлежит лучу. Однако, если точка $O$ не совпадает с $A$, то точка $A'$ окажется вне луча (на прямой, содержащей луч, но с другой стороны от $O$). Если же предположить, что центр симметрии $O$ совпадает с начальной точкой $A$, то для любой другой точки $M$ на луче симметричная ей точка $M'$ должна была бы лежать на прямой, содержащей луч, но по другую сторону от $A$, то есть вне луча. Следовательно, у луча нет центра симметрии.

Ответ: нет, не имеет.

в) прямая;

Да, прямая имеет центр симметрии. Более того, любая точка на прямой является её центром симметрии. Если выбрать любую точку $O$ на прямой, то для каждой точки $M$ этой прямой найдется симметричная ей относительно $O$ точка $M'$, которая также лежит на этой же прямой. Таким образом, у прямой бесконечно много центров симметрии.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — любая точка этой прямой.

г) разносторонний треугольник;

Нет, разносторонний треугольник не имеет центра симметрии. Если бы у него был центр симметрии $O$, то при симметрии относительно этой точки треугольник должен был бы перейти сам в себя. Это означает, что каждая вершина треугольника должна была бы перейти в другую его вершину. Но у треугольника три вершины, а центральная симметрия — это поворот на $180^\circ$, который может отобразить многоугольник на себя, только если у него четное число вершин, которые попарно симметричны. Для фигуры с нечетным числом вершин это невозможно.

Ответ: нет, не имеет.

д) равносторонний треугольник;

Нет, равносторонний треугольник не имеет центра симметрии по той же причине, что и разносторонний. У него нечетное число вершин (три), поэтому невозможно найти такую точку, относительно которой вершины попарно симметричны. Центр равностороннего треугольника (точка пересечения медиан, биссектрис и высот) является центром вращательной симметрии, но не центром центральной симметрии.

Ответ: нет, не имеет.

е) квадрат;

Да, квадрат имеет центр симметрии. Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей. При симметрии относительно этой точки каждая вершина переходит в противоположную вершину, а каждая сторона — в противоположную сторону. Вся фигура отображается сама на себя.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

ж) прямоугольник;

Да, прямоугольник имеет центр симметрии. Как и у квадрата, центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. При симметрии относительно этой точки фигура переходит сама в себя.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

з) окружность;

Да, окружность имеет центр симметрии. Центром симметрии окружности является ее геометрический центр. Любая точка на окружности при симметрии относительно центра переходит в точку, лежащую на другом конце диаметра, проведенного через исходную точку. Эта новая точка также лежит на окружности.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — центр окружности.

и) круг?

Да, круг имеет центр симметрии. Центром симметрии круга, как и у окружности, является его геометрический центр. Любая точка внутри или на границе круга при симметрии относительно центра переходит в точку, которая также находится внутри или на границе этого круга.

Ответ: да, имеет. Центр симметрии — центр круга.

Решение 3.

Решение 4.