Номер 1.14, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.14. Найдите 25% от числа х, если:

1) $x = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 4^3 \cdot 3^4;$

2) $x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2;$

3) $x = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot 24 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2;$

4) $x = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot 27 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2.$

1) Сначала вычислим значение $x$. Для этого воспользуемся свойствами степеней.

$x = (\frac{1}{2})^4 \cdot 4^3 \cdot 3^4$

Представим $4$ как $2^2$ и раскроем скобки:

$x = \frac{1}{2^4} \cdot (2^2)^3 \cdot 3^4 = \frac{1}{2^4} \cdot 2^6 \cdot 3^4$

Сократим степени с основанием 2, используя правило $a^m/a^n = a^{m-n}$:

$x = 2^{6-4} \cdot 3^4 = 2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$

Теперь найдем 25% от числа $x$. Найти 25% от числа — это то же самое, что умножить его на 0,25 или разделить на 4.

$324 \cdot 0.25 = \frac{324}{4} = 81$

Ответ: 81.

2) Вычислим значение $x$.

$x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot (\frac{1}{6})^2$

Представим 6 как произведение $2 \cdot 3$ и применим свойства степеней:

$x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \frac{1}{(2 \cdot 3)^2} = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \frac{1}{2^2 \cdot 3^2}$

Сократим степени с одинаковыми основаниями:

$x = 3^{3-2} \cdot 2^{4-2} = 3^1 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Найдем 25% от $x$:

$12 \cdot 0.25 = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: 3.

3) Вычислим значение $x$.

$x = (\frac{5}{6})^2 \cdot 24 \cdot (\frac{4}{5})^2$

Сгруппируем множители с одинаковой степенью, используя правило $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$x = ( \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} )^2 \cdot 24$

Упростим выражение в скобках:

$x = (\frac{4}{6})^2 \cdot 24 = (\frac{2}{3})^2 \cdot 24 = \frac{4}{9} \cdot 24$

Выполним умножение:

$x = \frac{4 \cdot 24}{9} = \frac{96}{9} = \frac{32}{3}$

Найдем 25% от $x$:

$\frac{32}{3} \cdot 0.25 = \frac{32}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) Вычислим значение $x$.

$x = (\frac{2}{3})^4 \cdot 27 \cdot (\frac{3}{4})^2$

Представим все числа в виде степеней простых чисел ($27 = 3^3$, $4 = 2^2$):

$x = \frac{2^4}{3^4} \cdot 3^3 \cdot \frac{3^2}{(2^2)^2} = \frac{2^4}{3^4} \cdot 3^3 \cdot \frac{3^2}{2^4}$

Сократим $2^4$ в числителе и знаменателе и сгруппируем степени с основанием 3:

$x = \frac{3^3 \cdot 3^2}{3^4} = \frac{3^{3+2}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3$

Найдем 25% от $x$:

$3 \cdot 0.25 = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.