Номер 1.16, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.16. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

1) $8^{31} + 3 \cdot 7^{29}$;

2) $6 \cdot 2^{23} - 3^{51}$?

1) Чтобы найти, какой цифрой оканчивается значение выражения $8^{31} + 3 \cdot 7^{29}$, нужно найти последние цифры каждого из слагаемых и определить последнюю цифру их суммы.

Сначала найдем последнюю цифру числа $8^{31}$. Для этого проследим за последними цифрами степеней числа 8:

$8^1$ оканчивается на 8,

$8^2$ оканчивается на 4 ($8 \cdot 8 = 64$),

$8^3$ оканчивается на 2 ($4 \cdot 8 = 32$),

$8^4$ оканчивается на 6 ($2 \cdot 8 = 16$),

$8^5$ оканчивается на 8 ($6 \cdot 8 = 48$).

Последовательность последних цифр (8, 4, 2, 6) является циклической с периодом 4. Чтобы определить последнюю цифру числа $8^{31}$, найдем остаток от деления показателя степени 31 на длину цикла 4: $31 = 4 \cdot 7 + 3$. Остаток равен 3, поэтому последняя цифра $8^{31}$ будет такой же, как третья цифра в цикле, то есть 2.

Теперь найдем последнюю цифру числа $3 \cdot 7^{29}$. Для начала определим последнюю цифру $7^{29}$. Проследим за последними цифрами степеней числа 7:

$7^1$ оканчивается на 7,

$7^2$ оканчивается на 9 ($7 \cdot 7 = 49$),

$7^3$ оканчивается на 3 ($9 \cdot 7 = 63$),

$7^4$ оканчивается на 1 ($3 \cdot 7 = 21$),

$7^5$ оканчивается на 7 ($1 \cdot 7 = 7$).

Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) также циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 29 на 4: $29 = 4 \cdot 7 + 1$. Остаток равен 1, поэтому последняя цифра $7^{29}$ такая же, как первая цифра в цикле, то есть 7. Тогда последняя цифра произведения $3 \cdot 7^{29}$ совпадает с последней цифрой произведения $3 \cdot 7 = 21$, то есть равна 1.

В итоге, для нахождения последней цифры суммы $8^{31} + 3 \cdot 7^{29}$ сложим последние цифры слагаемых: число $8^{31}$ оканчивается на 2, а число $3 \cdot 7^{29}$ оканчивается на 1. Последняя цифра их суммы будет такой же, как у суммы $2 + 1 = 3$.

Ответ: 3.

2) Чтобы найти, какой цифрой оканчивается значение выражения $6 \cdot 2^{23} - 3^{51}$, найдем последние цифры уменьшаемого и вычитаемого, а затем определим последнюю цифру их разности.

Сначала найдем последнюю цифру числа $6 \cdot 2^{23}$. Определим последнюю цифру $2^{23}$. Последние цифры степеней числа 2:

$2^1$ оканчивается на 2,

$2^2$ оканчивается на 4,

$2^3$ оканчивается на 8,

$2^4$ оканчивается на 6,

$2^5$ оканчивается на 2.

Последовательность (2, 4, 8, 6) циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 23 на 4: $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Остаток равен 3, значит, последняя цифра $2^{23}$ равна третьей в цикле, то есть 8. Тогда последняя цифра произведения $6 \cdot 2^{23}$ совпадает с последней цифрой произведения $6 \cdot 8 = 48$, то есть равна 8.

Теперь найдем последнюю цифру числа $3^{51}$. Последние цифры степеней числа 3:

$3^1$ оканчивается на 3,

$3^2$ оканчивается на 9,

$3^3$ оканчивается на 7,

$3^4$ оканчивается на 1,

$3^5$ оканчивается на 3.

Последовательность (3, 9, 7, 1) циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 51 на 4: $51 = 4 \cdot 12 + 3$. Остаток равен 3, значит, последняя цифра $3^{51}$ равна третьей в цикле, то есть 7.

Наконец, найдем последнюю цифру разности $6 \cdot 2^{23} - 3^{51}$. Она равна последней цифре разности их последних цифр. Уменьшаемое $6 \cdot 2^{23}$ оканчивается на 8, а вычитаемое $3^{51}$ оканчивается на 7. Последняя цифра разности будет такой же, как у $8 - 7 = 1$.

Ответ: 1.