Вопросы для закрепления, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какое (положительное или отрицательное) число получится при умножении двух степеней с нечетными показателями и отрицательными одинаковыми основаниями?

2. Какими числами могут быть основания степеней, чтобы можно было применить правило умножения степеней с одинаковыми основаниями? Какими при этом могут быть показатели этих степеней?

1. Пусть даны две степени, у которых одинаковые отрицательные основания и нечетные показатели. Обозначим основание как $a$, где $a < 0$, а показатели как $n$ и $m$, где $n$ и $m$ — нечетные целые числа. Требуется определить знак произведения $a^n \cdot a^m$.

Рассмотрим, какой знак имеет степень с отрицательным основанием. Если отрицательное число возвести в нечетную степень, результат будет отрицательным. Например, $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$. Поскольку основание $a$ отрицательное, а показатель $n$ — нечетный, то значение степени $a^n$ является отрицательным числом. Аналогично, поскольку основание $a$ отрицательное, а показатель $m$ — нечетный, то значение степени $a^m$ также является отрицательным числом.

Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, произведение $a^n \cdot a^m$ будет положительным числом.

Другой способ рассуждения основан на правиле умножения степеней с одинаковыми основаниями: $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$. Применим его: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. По условию, показатели $n$ и $m$ — нечетные числа. Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Например, $3+5=8$. Таким образом, показатель $(n+m)$ является четным числом. Если отрицательное число (наше основание $a$) возвести в четную степень, результат будет положительным. Например, $(-2)^4 = 16$. Следовательно, значение выражения $a^{n+m}$ будет положительным.

Ответ: Получится положительное число.

2. Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, выраженное формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, можно применять при различных условиях, налагаемых на основание $a$ и показатели $m$ и $n$. Существуют несколько основных случаев.

Если показатели степеней $m$ и $n$ являются натуральными числами (1, 2, 3, ...), то основание $a$ может быть любым действительным числом. Это связано с тем, что степень с натуральным показателем определяется как многократное умножение числа на само себя, что выполнимо для любого числа.

Если показатели степеней $m$ и $n$ являются целыми числами (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), то основание $a$ должно быть ненулевым действительным числом ($a \ne 0$). Это ограничение необходимо, так как определение степени с нулевым ($a^0=1$) и отрицательным ($a^{-k}=1/a^k$) показателем предполагает, что основание не равно нулю, чтобы избежать деления на ноль.

Если показатели степеней $m$ и $n$ являются любыми действительными числами (включая рациональные и иррациональные), то основание $a$ должно быть положительным действительным числом ($a > 0$). Это требование обеспечивает однозначную определенность степени с нецелым показателем в области действительных чисел. Например, выражение $a^{1/2}$ (квадратный корень) определено для $a \ge 0$, но чтобы правило работало в общем виде для всех действительных показателей, основание должно быть строго положительным.

Ответ: Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями можно применять в следующих случаях: если основание — любое действительное число, а показатели — натуральные числа; если основание — любое ненулевое действительное число, а показатели — целые числа; если основание — любое положительное действительное число, а показатели — любые действительные числа.