Номер 2.5, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вместо звездочки запишите число, чтобы были верными равенства (2.4-2.5):

2.5. 1) $x^{40} = x^9 \cdot x^* \cdot x^{23};$

2) $a^* \cdot a^5 \cdot a^{23} = a^{41};$

3) $(ab)^* \cdot (ab) \cdot (ab)^9 = (ab)^{14};$

4) $\left(\frac{c}{4}\right)^{20} \cdot \left(\frac{c}{4}\right)^* = \left(\frac{c}{4}\right)^{25};$

5) $(-k)^5 \cdot (-k)^* \cdot (-k)^5 = (-k)^{15};$

6) $\left(\frac{2}{5}y\right)^6 \cdot \left(\frac{2}{5}y\right)^* = \left(\frac{2}{5}y\right)^8.$

1) Для решения уравнения $x^{40} = x^9 \cdot x^* \cdot x^{23}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Правая часть уравнения преобразуется к виду $x^{9 + * + 23}$.

Приравнивая показатели степеней в левой и правой частях уравнения, получаем:

$40 = 9 + * + 23$

$40 = 32 + *$

Отсюда находим неизвестное число, которое должно стоять вместо звездочки:

$* = 40 - 32 = 8$

Ответ: 8.

2) В уравнении $a^* \cdot a^5 \cdot a^{23} = a^{41}$ применяется то же свойство степеней.

Складываем показатели степеней в левой части уравнения:

$* + 5 + 23 = 41$

$* + 28 = 41$

Находим неизвестное число:

$* = 41 - 28 = 13$

Ответ: 13.

3) В уравнении $(ab)^* \cdot (ab) \cdot (ab)^9 = (ab)^{14}$ основание степени равно $(ab)$.

Выражение $(ab)$ можно представить как $(ab)^1$.

Складываем показатели степеней в левой части:

$* + 1 + 9 = 14$

$* + 10 = 14$

Находим неизвестное число:

$* = 14 - 10 = 4$

Ответ: 4.

4) В уравнении $(\frac{c}{4})^{20} \cdot (\frac{c}{4})^* = (\frac{c}{4}) \cdot (\frac{c}{4})^{25}$ основание степени равно $\frac{c}{4}$.

Упростим обе части уравнения, используя правило умножения степеней. Выражение $(\frac{c}{4})$ равносильно $(\frac{c}{4})^1$.

Левая часть: $(\frac{c}{4})^{20 + *}$.

Правая часть: $(\frac{c}{4})^{1+25} = (\frac{c}{4})^{26}$.

Приравниваем показатели степеней обеих частей:

$20 + * = 26$

Находим неизвестное число:

$* = 26 - 20 = 6$

Ответ: 6.

5) В уравнении $(-k)^5 \cdot (-k)^* \cdot (-k)^5 = (-k)^{15}$ основание степени равно $(-k)$.

Складываем показатели степеней в левой части:

$5 + * + 5 = 15$

$10 + * = 15$

Находим неизвестное число:

$* = 15 - 10 = 5$

Ответ: 5.

6) В уравнении $(\frac{2}{5}y)^6 \cdot (\frac{2}{5}y)^* = (\frac{2}{5}y) \cdot (\frac{2}{5}y)^8$ основание степени равно $(\frac{2}{5}y)$.

Упростим обе части, помня, что $(\frac{2}{5}y) = (\frac{2}{5}y)^1$.

Левая часть: $(\frac{2}{5}y)^{6 + *}$.

Правая часть: $(\frac{2}{5}y)^{1+8} = (\frac{2}{5}y)^9$.

Приравниваем показатели степеней:

$6 + * = 9$

Находим неизвестное число:

$* = 9 - 6 = 3$

Ответ: 3.