Номер 2.8, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.8. Пусть $A = 5^9 \cdot 5^{10}$; $B = 9^{16} \cdot 9^3$; $C = 7^8 \cdot 7^{17}$. На какую цифру оканчивается значение выражения $3A + 9B - 2C$?

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $3A + 9B - 2C$, нам нужно определить, на какую цифру оканчивается каждое из чисел $A$, $B$ и $C$, а затем найти последнюю цифру результата всего выражения.

1. Найдем последнюю цифру числа A.

$A = 5^9 \cdot 5^{10} = 5^{9+10} = 5^{19}$.

Любая натуральная степень числа 5 оканчивается на цифру 5:

$5^1 = 5$

$5^2 = 25$

$5^3 = 125$

...

Следовательно, число $A = 5^{19}$ оканчивается на цифру 5.

2. Найдем последнюю цифру числа B.

$B = 9^{16} \cdot 9^3 = 9^{16+3} = 9^{19}$.

Последние цифры степеней числа 9 циклически чередуются:

$9^1 = 9$

$9^2 = 81$ (оканчивается на 1)

$9^3 = 729$ (оканчивается на 9)

...

Если показатель степени нечетный, то число оканчивается на 9. Если четный — на 1. Поскольку показатель степени 19 — нечетное число, число $B = 9^{19}$ оканчивается на цифру 9.

3. Найдем последнюю цифру числа C.

$C = 7^8 \cdot 7^{17} = 7^{8+17} = 7^{25}$.

Последние цифры степеней числа 7 циклически повторяются с периодом 4:

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$ (оканчивается на 9)

$7^3 = 343$ (оканчивается на 3)

$7^4 = 2401$ (оканчивается на 1)

$7^5 = 16807$ (оканчивается на 7)

...

Чтобы найти последнюю цифру числа $7^{25}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 25 на 4: $25 \div 4 = 6$ (остаток 1).

Остаток 1 соответствует первой цифре в цикле, то есть 7. Следовательно, число $C = 7^{25}$ оканчивается на цифру 7.

4. Найдем последнюю цифру выражения $3A + 9B - 2C$.

Нам важны только последние цифры каждого слагаемого.

- Последняя цифра $3A$: Число $A$ оканчивается на 5, значит $3A$ оканчивается на ту же цифру, что и $3 \cdot 5 = 15$. Это цифра 5.

- Последняя цифра $9B$: Число $B$ оканчивается на 9, значит $9B$ оканчивается на ту же цифру, что и $9 \cdot 9 = 81$. Это цифра 1.

- Последняя цифра $2C$: Число $C$ оканчивается на 7, значит $2C$ оканчивается на ту же цифру, что и $2 \cdot 7 = 14$. Это цифра 4.

Теперь найдем последнюю цифру результата, выполнив действия с последними цифрами: $(\dots 5) + (\dots 1) - (\dots 4) = (\dots 6) - (\dots 4) = \dots 2$.

Таким образом, значение выражения $3A + 9B - 2C$ оканчивается на цифру 2.

Ответ: 2.