Номер 2.10, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Запишите в виде произведения трех степеней с одинаковыми основаниями степени (2.9-2.10):

2.10. 1) $(-100)^{6k}$;

2) $9^{7k}$;

3) $(8\frac{3}{5})^{17t}$;

4) $7,7^{3k}$.

1) Чтобы представить степень в виде произведения трех степеней с одинаковым основанием, мы используем свойство $a^{m+n+p} = a^m \cdot a^n \cdot a^p$. В данном случае основание равно $-100$, а показатель степени — $6k$. Нам нужно представить показатель $6k$ в виде суммы трех слагаемых. Существует бесконечное множество способов это сделать.

Выберем простое и симметричное разбиение: $6k = 2k + 2k + 2k$.

Тогда исходное выражение можно записать следующим образом:

$(-100)^{6k} = (-100)^{2k+2k+2k} = (-100)^{2k} \cdot (-100)^{2k} \cdot (-100)^{2k}$.

Ответ: $(-100)^{2k} \cdot (-100)^{2k} \cdot (-100)^{2k}$

2) В данном случае основание степени равно $99$, а показатель — $7k$. Представим показатель $7k$ в виде суммы трех слагаемых. Поскольку существует множество вариантов, выберем один из них, например: $7k = k + 2k + 4k$.

Используя свойство $a^{m+n+p} = a^m \cdot a^n \cdot a^p$, получаем:

$99^{7k} = 99^{k+2k+4k} = 99^k \cdot 99^{2k} \cdot 99^{4k}$.

Другим примером может служить разбиение $7k = 3k + 3k + k$.

Ответ: $99^k \cdot 99^{2k} \cdot 99^{4k}$

3) Основание степени здесь — смешанная дробь $8\frac{3}{5}$, а показатель степени — $17t$. Поступаем аналогично предыдущим заданиям: представляем показатель $17t$ как сумму трех слагаемых. Поскольку 17 — простое число, для получения целых коэффициентов при $t$ можно выбрать, например, такое разбиение: $17t = 5t + 6t + 6t$.

Тогда:

$(8\frac{3}{5})^{17t} = (8\frac{3}{5})^{5t+6t+6t} = (8\frac{3}{5})^{5t} \cdot (8\frac{3}{5})^{6t} \cdot (8\frac{3}{5})^{6t}$.

Решение не является единственным, возможны и другие варианты разбиения.

Ответ: $(8\frac{3}{5})^{5t} \cdot (8\frac{3}{5})^{6t} \cdot (8\frac{3}{5})^{6t}$

4) Основание степени равно $7,7$, а показатель — $3k$. Наиболее наглядным способом представить показатель $3k$ в виде суммы трех слагаемых является разбиение на три одинаковых члена: $3k = k + k + k$.

Применяя свойство степеней, получаем:

$7,7^{3k} = 7,7^{k+k+k} = 7,7^k \cdot 7,7^k \cdot 7,7^k$.

Несмотря на то, что возможны и другие варианты (например, $3k = 1 + k + (2k-1)$), данный способ является самым простым и очевидным.

Ответ: $7,7^k \cdot 7,7^k \cdot 7,7^k$