Номер 2.12, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вместо звездочки запишите выражение, чтобы были верными равенства (2.12-2.13):

2.12.

1) $a^k \cdot a^* = a^{k+n};$

2) $b^* \cdot b^{3n} = b^{m+3n};$

3) $(cd)^* = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5;$

4) $(5z)^6 \cdot (5z)^* = (5z)^{6+3k}.$

1) Чтобы равенство $a^k \cdot a^* = a^{k+n}$ было верным, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

В левой части равенства основание степени равно $a$. При умножении степеней их показатели складываются. Таким образом, левая часть преобразуется к виду $a^{k+*}$.

Теперь равенство выглядит так: $a^{k+*} = a^{k+n}$.

Для того чтобы степени с одинаковым основанием были равны, их показатели также должны быть равны. Приравнивая показатели степеней левой и правой частей, получаем уравнение: $k + * = k + n$.

Вычитая $k$ из обеих частей уравнения, находим выражение для звездочки: $* = n$.

Ответ: $n$

2) Рассмотрим равенство $b^* \cdot b^{3n} = b^{m+3n}$. Для его решения применим то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Основание степени в левой части — $b$. Сумма показателей степеней в левой части равна $* + 3n$. Таким образом, левая часть равна $b^{*+3n}$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства: $b^{*+3n} = b^{m+3n}$.

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны: $* + 3n = m + 3n$.

Вычитая $3n$ из обеих частей, находим искомое выражение: $* = m$.

Ответ: $m$

3) В равенстве $(cd)^* = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5$ нам нужно найти показатель степени в левой части. Сначала упростим правую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Основание степени в правой части — $(cd)$. Складывая показатели, получаем: $(cd)^{2t} \cdot (cd)^5 = (cd)^{2t+5}$.

Теперь равенство имеет вид: $(cd)^* = (cd)^{2t+5}$.

Чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны: $* = 2t+5$.

Ответ: $2t+5$

4) В равенстве $(5z)^6 \cdot (5z)^* = (5z)^{6+3k}$ нужно найти неизвестный показатель степени. Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

В левой части основание степени равно $(5z)$. При умножении степеней их показатели складываются, поэтому левая часть преобразуется к виду $(5z)^{6+*}$.

Приравниваем левую и правую части: $(5z)^{6+*} = (5z)^{6+3k}$.

Отсюда следует, что показатели степеней должны быть равны: $6 + * = 6 + 3k$.

Вычитая $6$ из обеих частей уравнения, находим искомое выражение: $* = 3k$.

Ответ: $3k$