Проанализируй и ответь, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Рассмотрите деление двух степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями, например: $b^{15} : b^9$.

1. Как выражение $b^{15} : b^9$ можно представить в виде степени с тем же основанием?

2. Как выполнено деление: $b^{15} : b^9 = \frac{b^{15}}{b^9} = \frac{b^9 \cdot b^6}{b^9} = b^6$?

3. Как связаны показатели степеней $b^{15}$ и $b^9$ с показателем степени $b^6$?

1. Как выражение $b^{15} : b^9$ можно представить в виде степени с тем же основанием?

Для того чтобы представить выражение $b^{15} : b^9$ в виде степени с тем же основанием, необходимо воспользоваться правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. Это правило гласит: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула этого правила: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (где $a \neq 0$).

В данном примере основание степени — это $b$, показатель делимого — $15$, а показатель делителя — $9$.

Применяя правило, мы вычитаем показатели: $15 - 9 = 6$.

Таким образом, результат деления будет степень с основанием $b$ и показателем $6$.

Ответ: Выражение $b^{15} : b^9$ можно представить в виде степени $b^6$.

Данное деление выполнено в несколько последовательных шагов с использованием свойств степеней и дробей:

1. Представление деления в виде дроби: операция деления $b^{15} : b^9$ записывается как дробное выражение $\frac{b^{15}}{b^9}$, где $b^{15}$ — числитель, а $b^9$ — знаменатель.

2. Разложение числителя на множители: Числитель $b^{15}$ представляется в виде произведения двух степеней с тем же основанием. Используется правило умножения степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Так как $15 = 9 + 6$, то $b^{15}$ можно записать как $b^{9+6}$, что равно $b^9 \cdot b^6$. Числитель разлагается именно таким образом, чтобы один из множителей ($b^9$) был равен знаменателю.

3. Сокращение дроби: В полученной дроби $\frac{b^9 \cdot b^6}{b^9}$ общий множитель $b^9$ в числителе и знаменателе сокращается (уничтожается). В результате этого действия остается только множитель $b^6$.

Ответ: Деление выполнено путем представления частного в виде дроби, разложения числителя на множители по правилу умножения степеней и последующего сокращения дроби.

Показатели степеней $b^{15}$ (число 15) и $b^9$ (число 9) связаны с показателем итоговой степени $b^6$ (число 6) через операцию вычитания.

Показатель степени, который получается в результате деления ($6$), равен разности показателя степени делимого ($15$) и показателя степени делителя ($9$).

Это можно записать в виде простого равенства: $6 = 15 - 9$.

Данное соотношение является частным случаем общего правила деления степеней с одинаковыми основаниями, согласно которому показатель результирующей степени всегда равен разности показателей исходных степеней.

Ответ: Показатель степени результата ($6$) является разностью показателей исходных степеней ($15$ и $9$).