Вопрос критерии успеха, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает деление степеней с одинаковыми основаниями? Что такое степень с нулевым показателем?

Каким свойством обладает деление степеней с одинаковыми основаниями? Деление степеней с одинаковыми основаниями обладает свойством, согласно которому при делении степеней основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Это правило справедливо для любого ненулевого основания.

В виде формулы это свойство записывается так:

$a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Здесь $a$ — любое число, не равное нулю ($a \neq 0$), а $m$ и $n$ — любые числа (в школьном курсе обычно натуральные или целые).

Это свойство легко понять на примере. Допустим, нам нужно разделить $5^6$ на $5^4$:

$\frac{5^6}{5^4} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, мы получим:

$5 \cdot 5 = 5^2$

Используя формулу, мы бы получили тот же результат гораздо быстрее:

$5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

Ответ: При делении степеней с одинаковым основанием (не равным нулю) основание остается прежним, а из показателя делимого вычитается показатель делителя.

Что такое степень с нулевым показателем? Степень с нулевым показателем — это любое отличное от нуля число, возведенное в степень 0. По определению, такое выражение всегда равно единице.

Формула для степени с нулевым показателем:

$a^0 = 1$

Это правило действует для любого числа $a$, при условии, что $a \neq 0$.

Это определение логически вытекает из свойства деления степеней, рассмотренного выше. Возьмем любое число $a$ (не равное нулю) и разделим его степень $a^n$ саму на себя:

1. С одной стороны, любое число, делённое само на себя, равно 1. Следовательно, $a^n : a^n = 1$.

2. С другой стороны, применим правило деления степеней: $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$.

Приравнивая результаты, мы получаем, что $a^0 = 1$.

Например: $12^0 = 1$; $(-4)^0 = 1$; $(\frac{3}{7})^0 = 1$.

Важно отметить, что выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в стандартной алгебре считается неопределенностью, так как оно приводит к противоречию между двумя правилами: $a^0=1$ и $0^n=0$ (при $n>0$).

Ответ: Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.