Вопросы для закрепления, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какими могут быть основания степени и показатели, чтобы можно было использовать правило деления степеней с одинаковыми основаниями?

2. Почему при нахождении степени с нулевым показателем основание степени не может быть равным нулю?

3. При каких значениях а значение степени $a^0$ равно 1?

1. Правило деления степеней с одинаковыми основаниями записывается формулой $a^m : a^n = a^{m-n}$. Чтобы можно было применять это правило, во-первых, основания степеней ($a$) должны быть одинаковыми и не равняться нулю. Условие $a \neq 0$ является обязательным, поскольку деление на ноль не определено. Если бы основание было равно нулю, то при $n > 0$ делитель $a^n$ стал бы равен $0^n = 0$, что недопустимо. Во-вторых, что касается показателей степеней ($m$ и $n$), то в общем случае они могут быть любыми целыми числами. Если же рассматривать только натуральные показатели, то часто накладывают ограничение $m > n$, чтобы разность $m-n$ также была натуральным числом.

Ответ: Основание степени должно быть любым числом, не равным нулю ($a \neq 0$), а показатели степеней — любыми целыми числами.

2. Определение степени с нулевым показателем, а именно $a^0 = 1$, вводится для того, чтобы сохранить действие правила деления степеней с одинаковыми основаниями: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Если мы применим это правило к случаю, когда $m=n$ (и $a \neq 0$), то получим: с одной стороны, $a^n : a^n = 1$ (как частное двух равных ненулевых чисел), а с другой стороны, по формуле, $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$. Сопоставляя эти два результата, мы и приходим к выводу, что $a^0 = 1$. Ключевым моментом в этом рассуждении является деление на $a^n$. Если бы мы предположили, что основание $a$ может быть равно нулю, то нам пришлось бы выполнить деление $0^n : 0^n$. При любом натуральном $n$ это выражение превращается в $0:0$, которое является неопределенным в математике. Таким образом, невозможность деления на ноль приводит к тому, что основание степени с нулевым показателем не может быть равным нулю, и выражение $0^0$ не определено.

Ответ: Потому что определение $a^0=1$ выводится из равенства $a^n/a^n = a^{n-n}$, а это равенство имеет смысл только при $a \neq 0$, так как деление на ноль невозможно.

3. Значение степени $a^0$ равно 1 для любого значения основания $a$, за исключением нуля. Это следует непосредственно из определения степени с нулевым показателем, которое обсуждалось в предыдущем вопросе. Равенство $a^0=1$ является математическим соглашением (определением), которое сохраняет логику свойств степеней. Это правило работает для всех чисел: положительных ($10^0=1$), отрицательных ($(-5)^0=1$), дробных ($(1/3)^0=1$) и иррациональных ($\pi^0=1$). Единственное число, для которого это неверно, — это ноль, так как выражение $0^0$ не определено.

Ответ: При любых значениях $a$, кроме $a=0$.