Номер 2.14, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.14. Докажите, что является верным равенство:

1) $x^{k+4n-9} \cdot x^{7-3k} \cdot x^{6+2k-4n} = x^4$;

2) $x^{5m+11} \cdot x^{20-4m+2n} \cdot x^{m-2n-30} = x^{2m+1}$.

1) Чтобы доказать равенство, необходимо упростить его левую часть. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), при произведении степеней их показатели складываются. Сложим показатели степеней в левой части равенства: $(k+4n-9) + (7-3k) + (6+2k-4n)$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(k - 3k + 2k) + (4n - 4n) + (-9 + 7 + 6) = 0k + 0n + 4 = 4$. Таким образом, левая часть выражения равна $x^4$. В результате мы получаем тождество $x^4 = x^4$, что подтверждает верность исходного равенства. Ответ: Равенство доказано.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) и упростим левую часть равенства. Для этого сложим показатели степеней: $(5m+11) + (20-4m+2n) + (m-2n-30)$. Сгруппируем и сложим подобные слагаемые: $(5m - 4m + m) + (2n - 2n) + (11 + 20 - 30) = 2m + 0 + 1 = 2m+1$. Таким образом, левая часть выражения равна $x^{2m+1}$. В результате мы получаем тождество $x^{2m+1} = x^{2m+1}$, что доказывает верность исходного равенства. Ответ: Равенство доказано.