Номер 1.18, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.18. Сравните значения выражений:

1) $5^3 \cdot 5$ и $5^5$;

2) $6^2 \cdot 6^2$ и $6^4$;

3) $(-3)^2 \cdot (-3)^4$ и $(-3)^5$;

4) $4^4 \cdot 4$ и $4^5$.

1) Для сравнения выражений $5^3 \cdot 5$ и $5^5$ необходимо сначала упростить первое выражение. Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Учитывая, что $5$ это $5^1$, получаем:

$5^3 \cdot 5 = 5^3 \cdot 5^1 = 5^{3+1} = 5^4$.

Теперь сравним полученное значение $5^4$ с $5^5$. Поскольку основание степени $5$ больше 1, то больше та степень, у которой больше показатель. Так как $4 < 5$, то и $5^4 < 5^5$.

Следовательно, $5^3 \cdot 5 < 5^5$.

Ответ: $5^3 \cdot 5 < 5^5$.

2) Сравним выражения $6^2 \cdot 6^2$ и $6^4$. Упростим первое выражение, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$6^2 \cdot 6^2 = 6^{2+2} = 6^4$.

Мы получили, что первое выражение равно $6^4$, а второе выражение также равно $6^4$. Значит, эти выражения равны.

Следовательно, $6^2 \cdot 6^2 = 6^4$.

Ответ: $6^2 \cdot 6^2 = 6^4$.

3) Сравним выражения $(-3)^2 \cdot (-3)^4$ и $(-3)^5$. Упростим первое выражение, используя свойство умножения степеней:

$(-3)^2 \cdot (-3)^4 = (-3)^{2+4} = (-3)^6$.

Теперь необходимо сравнить $(-3)^6$ и $(-3)^5$.

Определим знаки этих выражений. Знак степени с отрицательным основанием зависит от четности показателя. Для $(-3)^6$ показатель $6$ является четным числом, поэтому результат будет положительным: $(-3)^6 > 0$.

Для $(-3)^5$ показатель $5$ является нечетным числом, поэтому результат будет отрицательным: $(-3)^5 < 0$.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому $(-3)^6 > (-3)^5$.

Следовательно, $(-3)^2 \cdot (-3)^4 > (-3)^5$.

Ответ: $(-3)^2 \cdot (-3)^4 > (-3)^5$.

4) Сравним значения выражений $4^4 \cdot 4$ и $4^5$. Упростим первое выражение. Представим $4$ как $4^1$ и воспользуемся свойством умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$4^4 \cdot 4 = 4^4 \cdot 4^1 = 4^{4+1} = 4^5$.

Сравнивая полученное выражение $4^5$ со вторым выражением $4^5$, мы видим, что они равны.

Следовательно, $4^4 \cdot 4 = 4^5$.

Ответ: $4^4 \cdot 4 = 4^5$.