Проанализируй и ответь, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как называются степени $a^2$ и $a^3$?

2. Объясните равенства: $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$; $(-0,6)^2 = 0,36$; $(-3)^3 = -27$.

3. В каком случае значение степени $a^n$ с натуральным показателем будет числом положительным, а в каком — отрицательным?

1. Как называются степени $a^2$ и $a^3$?

Степень с показателем 2, такая как $a^2$, называется второй степенью или квадратом числа. Степень с показателем 3, такая как $a^3$, называется третьей степенью или кубом числа.

Ответ: $a^2$ — квадрат числа $a$; $a^3$ — куб числа $a$.

2. Объясните равенства: $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$; $(-0,6)^2 = 0,36$; $(-3)^3 = -27$.

Возведение в степень — это операция, первоначально определяемая как многократное умножение числа на само себя. Руководствуясь этим определением, объясним каждое равенство:

Для равенства $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$: возведение в куб означает умножение числа на себя три раза. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $ (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$.

Для равенства $(-0,6)^2 = 0,36$: возведение в квадрат означает умножение числа на себя два раза. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом («минус на минус дает плюс»): $(-0,6)^2 = (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36$.

Для равенства $(-3)^3 = -27$: возведение в куб означает умножение числа на себя три раза. Произведение нечетного количества отрицательных множителей является отрицательным числом: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.

Ответ: Равенства верны и являются результатом корректного применения определения операции возведения в степень и правил умножения положительных и отрицательных чисел.

3. В каком случае значение степени $a^n$ с натуральным показателем будет числом положительным, а в каком — отрицательным?

Знак значения степени $a^n$, где $n$ — натуральное число (т.е. $n=1, 2, 3, ...$), зависит от знака основания $a$ и от четности показателя степени $n$.

Значение степени $a^n$ будет положительным числом в следующих случаях:

1) Если основание $a$ положительно ($a > 0$), то его степень $a^n$ всегда будет положительной при любом натуральном показателе $n$. Например, $2^5 = 32$.

2) Если основание $a$ отрицательно ($a < 0$), а показатель степени $n$ является четным числом. Например, $(-2)^4 = 16$. Это происходит потому, что множители разбиваются на пары, и произведение в каждой паре положительно.

Значение степени $a^n$ будет отрицательным числом в одном случае:

Если основание $a$ отрицательно ($a < 0$), а показатель степени $n$ является нечетным числом. Например, $(-2)^3 = -8$. Это происходит потому, что после перемножения пар отрицательных множителей остается один отрицательный множитель, который и определяет знак всего произведения.

Стоит отметить, что если $a=0$, то $a^n=0$ (для любого натурального $n$), а число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Ответ: Значение степени $a^n$ положительно, если $a > 0$, или если $a < 0$ и $n$ — четное число. Значение степени $a^n$ отрицательно, если $a < 0$ и $n$ — нечетное число.